- •Глава 2. Линейная алгебра.
- •§1.Матрицы. Общие понятия.
- •Виды квадратных матриц (частные случаи):
- •2) Квадратная матрица вида:
- •4) Квадратные матрицы вида
- •§2. Равенство матриц. Действия над матрицами
- •I.Равенство матриц
- •II.Сложение матриц
- •Пример 2.1
- •§3. Определители
- •Пример 3.1
- •Пример 3.2
- •Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам строки (столбца)
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •§4. Обратная матрица
- •Правило нахождения обратной матрицы.
- •Пример 4.1
- •Пример 4.3
- •§5. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера
- •§6. Ранг матрицы.
- •Правило:
- •Пример 6.2
- •III. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
- •IV. Базисный минор.
- •§7. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
- •Пример 7.1
- •Пример 7.2
- •Пример 7.3
- •§8. Метод Гаусса.
- •Пример 8.1
- •Ответ: , ,
- •§9. Однородные системы уравнений.
- •Ответ: , ,
- •§10. Линейные отображения. Преобразования координат.
- •I.Основные понятия
- •II.Преобразования координат при переходе к новому базису.
- •§11. Собственные векторы и собственные значения
Глава 2. Линейная алгебра.
§1.Матрицы. Общие понятия.
Опр. Матрицей А размера называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов.
Обозначения:
Amxn; A=( ai j ), где ai j – элемент матрицы;
i=1,…,m – номер строки (i= );
j=1,…,n – номер столбца (j= ).
Замечание. Будем рассматривать числовые матрицы. Если aij – функции (или векторы), то имеем функциональную (векторную) матрицу.
Если m n , то матрица называется прямоугольной.
Если m=n , то матрица называется квадратной.
– квадратная матрица порядка n.
Если m=1, то матрица состоит из 1-ой строки
(а1 , а2 ,…, аn) – матрица-строка.
Если n=1, то матрица состоит из 1-го столбца
– матрица-столбец.
Примеры: – прямоугольная матрица размером 3х4;
– квадратная матрица 2-го порядка;
– матрица-строка 1х4;
– матрица-столбец 3х1.
Опр. Матрица, получаемая из данной матрицы А путем замены строк на столбцы и наоборот называется транспонированной и обозначается А* или АT.
Если А= , то А называется симметричной.
Виды квадратных матриц (частные случаи):
Квадратная матрица, у которой все элементы aij=0, называется нулевой матрицей
.
2) Квадратная матрица вида:
– называется диагональной.
3) Если 1= 2=…..= n =1 то получим матрицу
– которая называется единичной.
4) Квадратные матрицы вида
–
– называются матрицами треугольного вида (А–верхняя треугольная матрица, В–нижняя треугольная матрица.)
§2. Равенство матриц. Действия над матрицами
I.Равенство матриц
Опр. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответственные элементы равны.
А=В, если .
II.Сложение матриц
С кладывать можно только матрицы одинакового размера.
Опр. Суммой двух матриц А=(аij) и В=(bij) называется матрица С=(сij), у которой сij=aij+bij, где i=1,…,m ; j=1,…,n.
Пример 2.1
В частности, если В – нулевая матрица, то А+0=А.
Аналогично определяется разность матриц.
Сложение матриц обладает свойствами:
1)А+В=В+А (переместительный закон)
2)(А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)
3)Для любых матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица Х такая, что А+Х=В.
Матрица Х=В–А – разность матриц. В частности, уравнение
А+Х=0 имеет единственное решение Х=0–А или Х=-А – матрица, противоположная А.
-А = (-аij).
III.Умножение матрицы на число
Опр. Произведением матрицы
А=(аij) на число к
с R
называется матрица кА = (каij),
где i=1,…,m
; j=1,…,n
Свойства
1) ; ; , где 0 – число, О – нулевая матрица
2)
3)
4)
Пример 2.2. . Найти 2А+Е, где Е – единичная матрица второго порядка.
Решение:
IV. Умножение двух матриц
Даны матрицы: (m строк, n столбцов)
(n строк, p столбцов)
Найдем произведение
Опр. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В, т.е.
.
, где .
Произведение осуществимо только в случае, когда А имеет число столбцов равное числу строк В.
Итоговая матрица имеет число строк, равное числу строк А и число столбцов, равное числу столбцов В.
В частности: .
Пример 2.3
Найти
Решение:
Пример 2.4
Ответ:
Пример 2.5
. Найти и
Ответ: .
Пример 2.6 Найти
Ответ:
В общем случае
(Если , то матрицы А и В называются коммутативными).
Свойства
1)
2)
3) ;
4) AE = EA = A, где А – квадратная матрица.
V. Умножение матрицы на матрицу-столбец.
Дано: ;
Найти:
= =
Пример 2.7
; Х = . Найти .
Решение: .
Пусть А – квадратная матрица
или
При умножении квадратной матрицы на матрицу-столбец получается матрица-столбец той же высоты.
Пример 2.8
.
Пример 2.9 Найти
Ответ: