Практическое занятие № 5
Тема занятия: Метод Фурье для линейных уравнений в частных производных второго порядка
5.1. Элементы общей теории уравнений в частных производных (учп)
Определение 5.1. Будем понимать под уравнением в частных производных второго порядка соотношение вида:
(5.1)
Здесь , , - обозначения частных производных первого и второго порядка функции по соответствующим переменным .
Определение 5.2. Классическим решением уравнения (5.1) назовем функцию непрерывную и имеющую непрерывные частные производные, входящие в (5.1) и обращающую равенства (5.1) в тождество относительно .
Определение 5.3. Если известная функция линейна относительно искомой функции и ее производных, то уравнение (5.1) называется линейным.
УЧП второго порядка с переменными коэффициентами
, (5.2)
невырожденным линейным преобразованием
(5.3)
приводятся к так называемому каноническому виду, в соответствии со знаком выражения, называемого дискриминантом
.
Возможны следующие случаи:
(5.4)
(5.4) – уравнение гиперболического типа.
(6.5)
(5.5) – уравнение параболического типа.
(5.6)
(5.6) – уравнение эллиптического типа.
В качестве примеров УЧП уравнений математической физики соответствующих типов приведем:
гиперболический тип
- (5.7)
уравнение малых поперечных колебаний математической струны или же малых продольных колебаний стержня [1]. В двумерном случае
- (5.8)
уравнение малых поперечных колебаний мембраны [1];
параболический тип
- (5.9)
уравнение теплопроводности или уравнение диффузии [1],
где - -мерный оператор Лапласа;
эллиптический тип
- (5.10)
уравнение Пуассона описывает установившиеся (стационарные) процессы колебаний или распространения тепла [1].
Еще один пример - уравнение Гельмгольца [1]
.
Для корректной постановки задач о решении УЧП приведенных типов, рассмотрим два рода задач: задачи Коши и краевые задачи [2].
Формулировка задачи Коши: нужно найти решение уравнения (5.7), (5.8) для (здесь - ограниченная область с гладкой границей ) при начальных условиях.
(5.11)
Формулировка краевой задачи: пусть уравнения (5.7), (5.8) рассматриваются в цилиндре (знак - обозначает декартово произведению множеств). Нужно найти функцию , удовлетворяющую уравнениям (5.7) или (5.8), начальным условиям (5.11) ,а также одной из следующих групп краевых условий:
(5.12)
(5.13)
(5.14)
, (5.15)
, (5.16)
, (5.17)
где - боковая поверхность цилиндра , - внешняя нормаль к , - нормальная производная функции .
Получим первую (5.7), (5.11), (5.12) или (5.8), (5.11), (5.15), вторую (5.7), (5.11), (5.13) или (5.8), (5.11), (5.16), и третью (5.7), (5.11), (5.14) или (5.8), (5.11), (5.17) - смешанную краевую задачу для УЧП.
Физически условия (5.11) соответствуют заданию начальных отклонений и начальных скоростей точек струны или мембраны. Краевые условия (5.12) означают, что концы струны движутся по заданному закону, (5.13) – по концам струны приложены определенные силы. (5.14) – на концах струны присутствуют и упругие силы.
Для уравнения (5.9) ставятся аналогичные задачи, только в начальных условиях (5.11) отсутствует производная по . Для уравнения (5.10) задается только краевое условие одного из трех видов (5.15—5.17).