Упражнения.

1. Докажите, что является метрикой функция:

2. Найдите , , из задачи 1.

3. Найдите такое метрическое пространство и два таких шара в нем, чтобы шар большего радиуса содержался в шаре меньшего радиуса и не совпадал с ним.

4. Докажите, что в условиях задачи 3 больший радиус не превышает удвоенного

меньшего радиуса.

5. Докажите, что отрезок с концами в точках можно описать как

, где - евклидова метрика.

6. Докажите, что множество ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором шаре.

7. Докажите, что всякий шар в нормированном пространстве является симметричным

относительно своего центра выпуклым множеством.

8. Докажите, что введенная в 1. стандартная топологическая структура в порождается метрикой .

9. Какая топологическая структура порождается метрикой 1.

10. Докажите, что всякий замкнутый шар замкнут.

11. Докажите, что сферы замкнуты.

12. Доказать, что множество, точками которого являются замкнутые подмножества

метрического пространства, само естественным образом может быть превращено в метрическое пространство, введением метрики.

13. Докажите, что если - замкнутое множество, то тогда и только тогда, когда .