- •Определение 2 Совокупность всех первообразных функции f(X) определена на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом (н.И.) от функции f(X) на этом промежутке и обозначается: .
- •3.Табличные интегралы
- •4.Замена переменных (введение множителя под знак дифференциала)
- •5.Интегрирование по частям
- •Вопрос №11
- •Тема 2 вопрос 3 Сумма Дарбу. Условия существования интеграла.
- •Критерии существования интеграла
- •Интегрируемость непрерывных монотонных функций
- •2.5(6).Свойства определенного интеграла
- •2.7.Теорема (о среднем значении определённого интеграла):
- •Т.Е. Геометрический смысл
- •Т.Е площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой f(ξ)
- •2.8(9).Определённый интеграл с переносным верхним пределом
- •Т.Е. Для любого х имеет смысл интеграл
- •Это есть
- •Заметим , что
- •Оценим разность
- •Вопрос №10Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема об интегрировании по частям
- •Вычисление площади плоских фигур
- •Выражение площади через интегралы
- •Вопрос №18(19): Длина дуги кривой.
- •Вопрос №22:несобственные интегралы
- •Применение основной формулы интегрального исчисления
- •Вопрос №простейшие свойства несобственных интегралов
Определения и свойства неопределенного интеграла первообразная Н.И.
Опр.1. пусть функция f(x) на некотором конечном или бесконечном промежутке I числовой оси R, т.е. на интервале полуинтервале или отрезке. Функция F(x) определена на этом же промежутке и называется первообразной функции f(x) на I, если:
Функция F(x)непрерывна на I;
во всех внутренних точках промежутка I, функция F(x) имеет производную и, что .
Определение 1 Функция F(x) называется первообразной на интервале (a,b) для функции f(x), если в любой т. x, интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную равную: F’(x) = f(x).
Имеет место теорема:
Если функция F(x) является какой либо первообразной для функции f(x) на промежутке I, тогда любая функция Ф(x) вида:
Ф(x) = F(x) + C, xI,
также является первообразной функции f(x) и всякая первообразная функции представлена в виде:
F(x) + C;
Док – во:
Если F(x) первообр. функции f(x) на I, то для любых C – const функция F(x)+C также непрерывна на I, как сумма непрерывных функций. И производная:
(F(x)+C)’=P’(x)+C’=F’(x)=f(x),
т.е. функция F(x) + C является первообразной, функции f(x) на I.
С другой стороны в силу следствия критерия постоянства функции f(x) на I, если F(x) и Ф(x) две первообразные для функции f(x) на I, т.е. F(x) и Ф(x) непрерывны на I и дифференцируемы внутри I, и, кроме того:
F’(x) = f(x) и Ф(x) = f(x), то F(x) - Ф(x) = С, а тогда Ф(x) = F(x) + С;
Определение 2 Совокупность всех первообразных функции f(X) определена на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом (н.И.) от функции f(X) на этом промежутке и обозначается: .
Основные свойства Н.И.
Пусть функция F(x) непрерывна на I и дифференцируема в его внутренних точках, тогда интеграл равен:
или
Доказательства следуют из равенства (4) и определения Н.И. (3).
Пусть функция имеет первообразную на промежутке I, тогда для любой внутренней точки промежутка I, имеет место равенство:
Док – во:
Если f1(x) и f2(x) имеют первообразную на I то и функция равная сумме этих функций имеет первообразную на этом же промежутке, причем интеграл от суммы этих функций будут равняться сумме И.
Св-во адетивности интеграла функции:
Док-во:
Пусть: и
Следовательно функции F1(x) и F2(x) непрерывны на I во всех его внутренних точках этого промежутка справедливо равенство:
F1’(x)=f1(x); F2’(x)=f2(x);
Положим F(x)=F1(x)+F2(x),тогда F(x) непрерывна на I, как сумма непрерывных функций, и во внутренней точке этого промежутка.
F’(x)=(F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)=f1(x)+f2(x), т.е.
F(x) является первообразной для f1(x)+f2(x) на инт. I. И поэтому:
таким образом, имеем:
В силу произвольности С1, С2, С эти совокупности совпадают и имеют место равенство:
;
Если f(x) имеет первообразную на I и k некоторое число, то функция k*f(x), также имеет на I, первообразную, причем при k0 имеет место равенство:
;
все необходимые свойства неопределенного интеграла.
3.Табличные интегралы
Операция нахождения Н. И. От данной функции называется интегрированием и является операцией обратной дифференцированию.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
4.Замена переменных (введение множителя под знак дифференциала)
Теорема1: Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , дифференцируема внутри его и отлична от постоянной. Функция g определена на промежутке I =() и имеет на этом промежутке первообразную G. Пусть, кроме того f(x)=g((x)) ’(x). Тогда, кроме того, f(x) имеет первообразную на :
Док-во: т.к. функция непрерывна на , то в силу следствия т. Больцмана- Каши , I=(x) это есть промежуток, при чем т.к. не является const, то I не обращается в точку.
Поскольку G является первообразной g на I, то она непрерывна на I и дифференцирована во всех внутренних т. т.к. по условию теоремы непрерывна на , то имеет смысл сложная функция:
F(x)=G((x))
Определенная на и непрерывная:
F’(x)=G’((x)) ’(x)=g((x)) ’(x)=f(x)
Следовательно F(x) является первообразной для f(x) и тогда:
Теорема2: Пусть функция непрерывна на промежутке I, строго монотонна на нем и дифференцируема в каждой внутренней т. I.
Если функция g(U)=((U)) ’(U) имеет первообразную на I, то функция f имеет первообразную на промежутке =(I):
(x) – это функция по обратная к .
Док – во
В силу условия теоремы на промежутке определена, непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках, обратная к функция (x).
Пусть G первообразная на промежутке I для g(U) и пусть F равное:
F=G((x))
Тогда F непрерывна на как композиция непрерывных функций и дифференцируема во внутр. т. .
F’(x)= G’((x)) ’(x)=g((x)) ’(x)=f(((x))) ’((x)) ’(x)=f(x)
Таким образом F(x) определяемая F=G( (x)) это первообразная функции на . А, следовательно:
Пример:
1.
2.