- •1. Определение первообразной, теорема о множестве первообразных. Неопределенный интеграл. Основные свойства (линейность, интеграл от производной функции).
- •2. Неопределенный интеграл. Замена переменной в интеграле. Интегрирование по частям.
- •3. Общая схема интегрирования рациональных функций.
- •9. Определенный интеграл: определение, свойства линейности
- •10. Определенный интеграл: определение, теорема о среднем, ее геометрический смысл.
- •11. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах с помощью определенного интеграла.
- •13.Определение длины кривой. Вычисление длины кусочно-гладкой кривой.
- •18. Несобственные интегралы: признаки сравнения.
- •19. 0Пределение двойного интеграла, его геометрический и механический смысл. Свойства линейности и аддитивности; сведение двойного интеграла к повторному.
- •20. Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем.
- •21. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •22. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
- •23. Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному.
- •24.Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
- •25.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его геометрический и механический смысл, вычисление.
- •26. Определение и основные свойства криволинейного интеграла по координатам, вычисление.
- •27. Работа силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.
- •28.Теорема Грина.
- •29. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от выбора пути интегрирования (на плоскости).
- •30. Вычисление площади гладкой поверхности.
- •31 .Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.
- •32.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Геометрический смысл градиента, его свойства.
- •33. Определение и свойства интегралов второго рода по поверхности, вычисление.
- •34. Поток векторного поля, дивергенция. Теорема Гаусса-Острогр.
- •36. Циркуляция векторного поля, ротор. Теорема Стокса. Формула Грина как частный случай теоремы Стокса.
1. Определение первообразной, теорема о множестве первообразных. Неопределенный интеграл. Основные свойства (линейность, интеграл от производной функции).
F(x)-называют первообразной для f(x), определенной на интервале [a,b] , если F(x):
1) дифференцируема на ( a,b ) 2) F/(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx. Теорема о множестве первообразных: Если f(x) имеет в данном промежутке первообразную F(x), то все первообразные данной функции заключены в выражении F(x) + С. Две первообразные одной функции отличаются друг от друга только на константу. Неопределенный интеграл: пусть f(x) имеет на ( a,b ) F(x), такую, что F/(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx, тогда F(x) + С –является общим выражением для всех первообразных и называется неопределенным интегралом от заданной функции f(x). Свойства: 1) Если f(x) непрерывна на ( a,b ), то на ( a,b ) существует F(x) и неопределенный интеграл.
2) d ∫ f(x) dx = f(x) dx 3) ∫ f(x) dx = F(x) + С ( стоящие рядом знаки интегрирования и дифференцирования взаимно сокращаются, но добавляется константа ) .
4) ( линейность ) ∫ [ C1f1(x) ± C2f2(x) ] = C1∫ f1(x)dx ± C2∫ f2(x)dx, это можно проверить дифференцированием обоих частей.
2. Неопределенный интеграл. Замена переменной в интеграле. Интегрирование по частям.
Неопределенный интеграл: пусть f(x) имеет на ( a,b ) F(x), такую, что F/(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx, тогда F(x) + С –является общим выражением для всех первообразных и называется неопределенным интегралом от заданной функции f(x). Замена переменной: если Х = φ(t) и 1) она непрерывна и дифференцируема на ( a,b ) 2) ∫ f(x) dx = F(x) + С , тогда f [φ(t)]*φ/ (t) имеет F[ φ(t) ], то есть формула: ∫ f [φ(t)]*φ/ (t) = F[ φ(t) ] + С. Интегрирование по частям: ∫ UdV = UV - ∫ VdU.
3. Общая схема интегрирования рациональных функций.
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменателе дроби не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции. Сначала делением числителя на знаменатель выделяется «целая часть», т. е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Если получившаяся правильная рациональная дробь оказывается ненулевой, то она раскладывается на сумму элементарных дробей, после чего, используя линейность интеграла, можно вычислить интегралы от каждого слагаемого.
4. Интегрирование простейших дробей.
Простейшую дробь можно представить как сумму дробей и интегрировать каждую из них по отдельности, если так сделать нельзя, то представить числитель в виде А+В.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
1) ∫R ( sin, cos ) dx ; t = tg x/2
2) ∫R ( sin ) cos dx ; t = sin x ∫R sin ( cos ) dx ; t = cos x
∫R ( tg ) dx ; t = tg x ∫R ( ctg ) dx ; t = ctg x
3) ∫ sin, cos dx ; представить синус или косинус через тригонометрические формулы.
6. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
1) ∫R ( x, m√ x ) dx ; x = tm t = m√ x
2) ∫R ( x, m√ ax + b ) dx ; ax + b = tm t = m√ ax + b
3) ∫R ( x, m√ (ax + b) / (cx + d ) dx ; (ax + b) / (cx + d ) = tm t = m√ (ax + b) / (cx + d ).
7. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки.
1) ∫R (u, √ l2 – u2 ) du ; u = l*sin ( t ) или u = l*th ( t )
2) ∫R (u, √ l2 + u2 ) du ; u = l*tg ( t ) или u = l*sh ( t )
3) ∫R (u, √ u2 - l2 ) du ; u = l*sec ( t ) или u = l*ch ( t )
8. Определенный интеграл: определение, геометрич. и механич. смысл. Интегрирование кусочно-непрерывной функции.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ( a, b ), называется предел интегральной суммы при n ∞, d 0, при условии 1) существует Lim, 2) Lim не зависит от Т. Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений. Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, — со знаком минус. В механике с помощью определенного интеграла можно посчитать расстояние пути по показаниям спидометра и часов. Интегрирование кусочно-непрерывной функции: f(x)—кусочно-непрерывная на [ a, b ] , если [ a, b ] можно разбить на конечное число частей на каждой из которых : f(x) непрерывна. Если f(x)—ограничена и кусочно-непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке.