38. Закон Фурье. Перенос тепла теплопроводностью.
Закон Фурье: Процесс теплопроводности как и др. виды теплообмена может иметь место при условии, что температура в различных точках тела неодинакова, т.е. grad t≠0, тогда в соответствии с гипотезой Фурье, тепло которое проходит через элемент изотермической поверхности в единицу времени, пропорционально grad t dt/dn:
dQ= - ·dF·dτ·λ (*)
где λ – коэффициент пропорциональности или коэффициент теплопроводности, который представляет собой физический параметр вещества (с размерностью Вт/(м·К)).
Физический смысл: λ показывает какое количество тепла проходит за счет теплопроводности в единицу времени через единицу поверхности при grad t=1.
Для расчета количества тепла, которое проходит за время δt, через всю поверхность F, уравнение (*) необходимо проинтегрировать.
Коэффициент λ зависит:
- природы вещества;
- структуры вещества;
- температуры.
Для газов: λ с увеличением температуры растет; для идеальных газов она не зависит от давления, а для водяного пара – зависит.
Для жидкости: λ при повышении температуры снижается (за исключением глицериновой воды, при повышении давления – λ растет).
Для металлов: очень важно чистые они или с примесями. Например, чистая медь имеет , а с примесью 0,01% As (мышьяк) – 142 Вт/(м·К). Для твердых материалов, неметаллов λ зависит от пористости и влажности.
39. Дифференциальное уравнение Фурье.
При решении различных задач, которые связаны с теплообменным путем теплопроводности необходимо иметь систему дифференциальных уравнений, которые описывали бы распространение температур в пространстве и во времени.
Поскольку величины, влияющие на теплопроводность, также меняются и в пространстве и во времени, то при выводе диф. уравнения сделаем следующие допущения:
тело однородно и изотропно;
физические параметры постоянны во времени;
деформация объема отсутствует;
внутренние источники тепла распределены равномерно.
Количество тепла, которое подводится к граням параллелепипеда Qx, Qy, Qz, а количество тепла, которое отводится через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим Qx+dx, Qy+dy, Qz+dz.
Будем считать, что температура на гранях = t, а температура граней, с которых отводится t+ ; t+ ; t+ .
Тогда, используя уравнение Фурье: количество тепла, которое подводится к граням dτ, может быть записано:
Количество тепла, которое отводится через противоположные грани за то же время может быть записано в виде:
Поскольку часть тепла расходуется на повышение температуры в элементарном объёме, то количество тепла которое подводится, будет отличаться от количества тепла которое отводится. Разность тепла между гранями можно записать:
Тогда приращение тепла по всему V:
- изменение тепла в элементарном объёме.
- оператор Лапласа
Если в dV существуют источники тепла, то его необходимо учитывать. Обозначим количество тепла, которое выделяется внутренними источниками в единице объёма dV за время , через величину , тогда
Учитывая величину получим полное приращение тепла:
По закону сохранения энергии при изобарном процессе (p=const) приращение количества тепла расходуется на изменение энтальпии:
где в свою очередь:
При изохорном процессе (V=const) приращение тепла идет на изменение внутренней энергии:
где в свою очередь:
Для твердых тел можно принять, что:
, тогда:
(*)
где - коэффициент теплопроводности
- физическая величина, которая характеризует скорость изменения температуры. Чем больше , тем больше скорость изменения температуры любой точки тела
Уравнение (*) называется ДУ теплопроводности неподвижной среды. Допустим, что = 0, тогда - получ. уравнение Фурье.
Если присутствует, а температура не меняется во времени, то уравнение превращается в уравнение Пуассона:
; : - уравнение Лапласа.
Уравнение Фурье, Пуассона и Лапласа описывает изменение температуры при передачи тепла теплопроводностью в самом общем виде. Для конкретных расчетов они должны быть дополнены условиями однозначности (размеры и формы тела, физические свойства тела и начальные либо граничные условия).