1 Эллипсоид.
Определение 1.1. Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид
Будем считать, что . Из уравнения следует, что если точка лежит на эллипсоиде, то на нем лежат и точки с любым набором знаков плюс и минус. Отсюда следует, что для эллипсоида начало координат является его центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются главными осями; координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями. Если , то эллипсоид называется трехосным. Если ( ), то эллипсоид называется вытянутым (сжатым) эллипсоидом вращения. Каждый из них получается вращением эллипса вокруг большой (малой) его оси. Если , то эллипсоид является сферой радиуса с центром в начале координат. Определение 1.2. Вершинами трехосного эллипсоида называются точки пересечения эллипсоида с его главными осями. Трехосный эллипсоид имеет шесть вершин . Из уравнения следует, что если точка лежит на эллипсоиде, то ее координаты должны удовлетворять следующим условиям . Это означает, что эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами . Координатные плоскости пересекают эллипсоид по линиям, заданным уравнениями
Линии , , --- эллипсы; эти эллипсы, т.е. сечения эллипсоида его главными плоскостями, называются главными сечениями. Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными какой-нибудь координатной плоскости, например плоскостями, параллельными плоскости , т.е плоскостями, заданными уравнением , где --- произвольное действительное число. Уравнения линий сечения будут или или Если , то первому уравнения системы не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел , то есть плоскость при не пересекает эллипсоид . При первое уравнение системы имеет вид откуда . Таким образом, плоскости встречают эллипсоид в его вершинах . Наконец, если , то систему можно переписать в виде или Последние уравнения являются уравнениями эллипса, лежащего в плоскости сечения ; центр этого эллипса --- точка , оси симметрии параллельны осям и , а полуоси равны Рассмотренные сечения дают представление о форме эллипсоида.
2 Однополостный гиперболоид.
Определение 2.1. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид
Будем считать, что . Также как в предыдущем параграфе доказывается, что для однополостного гиперболоида начало координат является его центром симметрии (центр); оси координат являются осями симметрии (главные оси); координатные плоскости являются плоскостями симметрии (главные плоскости). Если , то однополостный гиперболоид называется однополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Определение 2.2. Вершинами однополостного гиперболоида называются точки пересечения однополостного гиперболоида с его главными осями. Однополостный гиперболоид имеет четыре вершины . Плоскость пересекают однополостный гиперболоид по эллипсу, заданному уравнениями
называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида . Плоскость пересекают однополостный гиперболоид по гиперболе, заданной уравнениями
а плоскость --- по гиперболе, заданной уравнениями
Линии , , --- сечения гиперболоида его главными плоскостями, называются главными сечениями. Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями, заданными уравнением , где --- произвольное действительное число. Уравнения линий сечения будут или или или Этими уравнениями выражается эллипс, лежащий в плоскости сечения ; центр этого эллипса --- точка , оси симметрии параллельны осям и , а полуоси равны Таким образом, горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид рассекается плоскостями, параллельными плоскости . Плоскость , параллельная координатной плоскости , пересекает однополостный гиперболоид по линии, уравнения которой имеют вид или или Если , то уравнениями определяется гипербола, лежащая в плоскости сечения с центром в точке , действительная ось, которой параллельна оси , а мнимая --- оси . Полуоси этой гиперболы равны --- действительная полуось и --- мнимая полуось. При , уравнения принимают вид Уравнения являются уравнениями двух пересекающихся прямых и : --- прямая --- прямая . Аналогично уравнения являются уравнениями двух пересекающихся прямых и : --- прямая --- прямая . Если , то уравнениями определяется гипербола, лежащая в плоскости сечения с центром в точке , действительная ось, которой параллельна оси , а мнимая --- оси . Полуоси этой гиперболы равны --- действительная полуось и --- мнимая полуось. Сечения плоскостями , параллельными плоскости , рассматриваются аналогично. Все эти сечения дают представление о форме поверхности однополостного гиперболоида. 3 Двуполостный гиперболоид.
Определение 3.1. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид
Начало координат является его центром симметрии (центр); оси координат являются осями симметрии (главные оси); координатные плоскости являются плоскостями симметрии (главные плоскости). Если , то двуполостный гиперболоид называется двуполостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы вокруг ее действительной оси . Определение 3.2. Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки пересечения двуполостного гиперболоида с его главными осями. Двуполостный гиперболоид имеет две вершины . Плоскости и пересекают двуполостный гиперболоид по гиперболам:
и
Плоскость не пересекает двуполостный гиперболоид . Линии , --- сечения гиперболоида его главными плоскостями, называются главными сечениями. Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями, заданными уравнением , где --- произвольное действительное число. Уравнения линий сечения будут или или Если , то первое уравнение не имеет действительных решений, следовательно, в этом случае плоскость не пересекает поверхность. При , получаем откуда . Таким образом, плоскости встречают двуполостный гиперболоид в его вершинах. Наконец, если , то уравнения сечения можно переписать в виде Этими уравнениями задается эллипс, лежащий в плоскости сечения ; центр этого эллипса --- точка , оси симметрии параллельны осям и , а его полуоси равны которые увеличиваются по мере удаления секущей плоскости от плоскости . Из рассмотрения данных сечений следует, что двуполостный гиперболоид состоит из двух частей, принадлежащих в различным полупространствам, относительно плоскости . Плоскость , параллельная координатной плоскости , пересекает двуполостный гиперболоид по линии, уравнения которой имеют вид или или или т. е. по гиперболе лежащей в плоскости сечения с центром в точке , действительная ось, которой параллельна оси ,а мнимая --- оси . Аналогично исследуются сечения гиперболоида плоскостями . Все эти сечения дают представление о форме двуполостного гиперболоида.