- •Определение ф-ии нескольких переменных.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Экстремумы ф-ций двух переменных
- •Нахождение наиб. И наим. Знач. На компакте.
- •Ои как предел интегральных сумм.
- •Линейные диф-е уравн. N-го порядка.
- •Неоднородные линейные диф. Уравнения 2-го порядка.
- •Метод Лагранжа…
- •Система линейных диф. Уравнений…
- •33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
- •34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
- •35. Основные свойства двойного интеграла.
- •36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
- •37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
- •38. Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)
- •41.Замена переменных в тройном интеграле
- •42. Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).
- •49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60. Теорема Абеля
- •61. Свойства степенных рядов
- •62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
- •63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
- •64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
- •65) Приближенное решение ду
- •66) Дискретное вероятностное пространство
- •67) Классическое вероятностное пространство
- •68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
- •69) Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
- •70)Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
Определение ф-ии нескольких переменных.
Пусть задано множ. D упорядоченных пар чисел (x;y)Є D сопоставляет одно число z Є R1 называется функцией нескольких переменных, определённых на множестве D со знач. R1 и записывается в виде z=f(x;y) или f : D→ R. При этом x и y наз. аргументами, а z — функцией.
Предел ф-ии.
A=lim f(x;y) или A= lim f(M)
x→x0 M→M0
y→y0
Непрер. ф-ии.
Ф-я z=f(x;y)(или f(M)) наз. непрер. в т. M0(x0;y0), если она: а) определена в этой т. и некот. её окрестности. б) имеет предел
lim f(M)
M→M0
в)этот предел равен знач. ф-ии z в т. M0
2. Частные произв. и диф. ф-ии 2-ух перем.
произв:
диф: dz=A∙Δx+B∙Δy
выражения A∙Δx+B∙Δy наз. частными диф.
Производн. сложных и неявно задан. ф-ий.
Если z=f(x;y)— диф-ма в т. M(x;y) Є D ф-я и x=x(t) b y=y(t)— диф-мые ф-ии независимой переменной t, то произв. сложной ф-ии z(t)=f(x(t);y(t)) вычисляются по формуле
Понятие диф-сти ф-ии 2-ух переменных.
Пусть ф-я z=f(x;y) опред. в некот. окрестности т. M(x;y). Составим полное приращение ф-ии в т. M:
ф-я z=f(x;y) наз. диф-емой в т. M(x;y), если её полное приращение в этой т. можно представить в виде
Произв. по направлению.
Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.
Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности
Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, имеет П. функцию V, то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненным системою бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня;
уравнение касательной плоскости для неявно заданной ф-ции имеет вид:
уравнение касательной плоскости для явно заданной ф-ции имеет вид:
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть ф-я z=f(x;y) диф-ма в т. (x0;y0) некот. обл. D Є R2. Рассечём пов. S, изображающую ф-ю z, плоскостями x=x0 и y=y0. Плоскость x=x0 пересекает пов. S по некот. линии z0(y), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной ф-ии z=f(x;y) вместо x числа x0. Точка M0(x0;y0;f(x0;y0)) принадлежит кривой z0(y). В силу диф-сти функции z в т. M0 ф-я z0(y) также является диф-ой а т. y=y0. Следовательно, в этой т. в плоскости x=x0 к кривой z0 может быть проведена касательная l1. Проводя анологич. рассуждения для сечения y=y0 построим касательную l2 к кривой z0(x) в т. x=x0. Прямые l1 и l2 определяют плоскость α, которая наз. касательной плоскостью к пов. S в т. M0.
Прямая, проходящая через т. M0 и перпендикулярна касательной плоскости, построенной в этой т., наз. её нормалью.
Экстремумы ф-ций двух переменных
Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0) - внутренняя точка области D.
Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек
то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y).