- •11.Знать определение простейшей рациональной дроби и уметь представлять правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей
- •12.Знать определение первообразной и доказывать теорему, что две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную
- •13.Доказывать основные свойства неопределённого интеграла
- •14. Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для неопределенного интеграла
- •Интегрирование по частям
- •15.Выводить формулы интегрирования простейших рациональных дробей
- •16. Излагать приёмы вычисления интегралов вида:
- •17.Знать определение определенного интеграла. Формулировать теорему существования определенного интеграла.
- •18.Доказывать основные свойства определенного интеграла
- •19. Доказывать теорему о среднем.
- •20.Доказывать теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу и выводить формулу Ньютона–Лейбница
- •21.Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла
- •22.Выводить формулы, использующие понятие определенного интеграла для его геометрических и механических приложений.
- •27.Знать определение предела и непрерывности функции двух переменных
- •28.Сформулировать свойства функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области
- •29.Знать определение частных производных. Уметь выводить формулы производной сложной функции двух переменных, полной производной, производной неявной функции
- •30.Знать определение дифференцируемости функции, доказывать теоремы о необходимом условии дифференцируемости, о достаточном условии дифференцируемости
- •33. Формула касательной к плоскости и нормали
- •34.Необходимые условия экстремума
- •35. Достаточное условие экстремума
- •35. Достаточное условие экстремума (2 вариант)
- •39. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода и уметь их вычислять
- •41.Знать формулы Грина
Оглавление
11.Знать определение простейшей рациональной дроби и уметь представлять правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей 1
12.Знать определение первообразной и доказывать теорему, что две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную 2
13.Доказывать основные свойства неопределённого интеграла 3
14. Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для неопределенного интеграла 4
15.Выводить формулы интегрирования простейших рациональных дробей 6
16. Излагать приёмы вычисления интегралов вида: 7
17.Знать определение определенного интеграла. Формулировать теорему существования определенного интеграла. 8
18.Доказывать основные свойства определенного интеграла 10
19. Доказывать теорему о среднем. 11
20.Доказывать теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу и выводить формулу Ньютона–Лейбница 12
21.Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла 14
Замена переменной в определённом интеграле 14
22.Выводить формулы, использующие понятие определенного интеграла для его геометрических и механических приложений. 15
27.Знать определение предела и непрерывности функции двух переменных 17
28.Сформулировать свойства функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области 19
29.Знать определение частных производных. Уметь выводить формулы производной сложной функции двух переменных, полной производной, производной неявной функции 20
30.Знать определение дифференцируемости функции, доказывать теоремы о необходимом условии дифференцируемости, о достаточном условии дифференцируемости 25
33. Формула касательной к плоскости и нормали 26
34.Необходимые условия экстремума 28
35. Достаточное условие экстремума 29
35. Достаточное условие экстремума (2 вариант) 29
39. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода и уметь их вычислять 31
41.Знать формулы Грина 33
11.Знать определение простейшей рациональной дроби и уметь представлять правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:
Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: , где M(x)-многочлен, а правильная дробь.
Пример: Пусть дана неправильная рациональная дробь.
Тогда ,так как, при делении уголком получим остаток (4x-6).
Т. к. интегрирование многочленов не представляет принципиальных затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
Можно выделить несколько типов рациональных дробей:
I. Вид: .
II. Вид: (k-целое положительное число ³2).
III. Вид: .
IY. Вид: (k-целое³2).
12.Знать определение первообразной и доказывать теорему, что две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную
Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [а,b],если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x)=f(x)
Пример: пусть . Тогда первообразная, так как .Функция также первообразная , так как .
Уже из этого примера видно, что у одной функции может быть несколько первообразных. Чем же эти первообразные отличаются друг от друга ?
Теорема .Пусть и две первообразные одной и той же функции .Тогда , где С- постоянная величина (константа).
Доказательство
Действительно, в этом случае и по теореме о постоянстве функции F2(x)-F1(x)=C
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается интеграл f(x)dx.
Функция f(x) называется подинтегральной функцией , а комбинация f(x)dx-подинтегральным выражением.
Пусть F(x) есть какая-то первообразная функции f(x) . Так как две первообразных отличаются только на константу , то
f(x)dx = F(x)+C
Где С – произвольная константа.
13.Доказывать основные свойства неопределённого интеграла
1. ; –производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал–подынтегральному выражению.
Доказательство. Из определения первообразной:
2. – неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
Доказательство. Из определения первообразной следует, что функция является первообразной для функции следовательно, является неопределенным интегралом от .
Например,
3. –неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.
Доказательство. Достаточно показать, что совпадают производные левой и правой частей равенства.
–по свойству 1;
.
4. , где k=const–постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла. Доказывается аналогично свойству 3. Из свойств 1 и 2 следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями.