- •Глава 4. Повторные независимые испытания
- •§ 4.1. Формула Бернулли
- •§ 4.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •§ 4.3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •§ 4.4. Теоремы Пуассона3
- •Раздел 2 случайные величины
- •Глава 5. Дискретная случайная величина
- •§ 5.1. Функция распределения дискретной случайной величины
- •§ 5.2. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
- •§ 5.3. Основные законы распределения случайных величин
- •§ 5.3.1. Биномиальный закон распределения
- •§ 5.3.2. Закон распределения Пуассона
- •Глава 6. Непрерывная случайная величина
- •§ 6.1. Функция распределения непрерывной случайной величины
- •§ 6.2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины
- •§ 6.3. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •§ 6.4. Основные законы распределения непрерывных случайных величин
- •§ 6.4.1. Равномерный закон распределения
- •Глава 7. Нормальный закон распределения
- •§ 7.1. Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения
- •§ 7.2. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины
- •§ 7.3. Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •§ 7.4. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения
- •Глава 8. Предельные теоремы теории вероятности
- •§ 8.1. Закон больших чисел. Основные теоремы
- •1. Лемма Маркова
- •2. Неравенство Чебышева
- •§ 8.2. Центральная предельная теорема
Глава 4. Повторные независимые испытания
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Под испытанием понимается осуществление определенного комплекса условий, в результате которых может произойти (или нет) то или иное событие пространства элементарных событий.
Повторные независимые испытания — многократные испытания, в которых вероятность появления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний. Впервые схема независимых испытаний была рассмотрена Я. Бернулли1 для важнейшего частного случая k=2.
Под схемой Бернулли понимают проведение серии в n испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: либо наступит событие А, либо не наступит, т. е. произойдет противоположное ему и при этом:
все п испытаний независимы;
вероятность события А в каждом отдельном испытании постоянна и не меняется от испытания к испытанию:
П ример. К случайным событиям, удовлетворяющим условиям схемы Бернулли, относятся: многократное подбрасывание монеты (событие А – например, выпадение «орла»), многократная стрельба по мишени (событие А – например, попадание в мишень) и т. п.
§ 4.1. Формула Бернулли
В случае небольшого числа испытаний n вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется в соответствии с формулой Бернулли:
(1.24)
где n – число испытаний Бернулли;
m – число испытаний, в которых наступило событие А;
q=1-p – вероятность противоположного события ;
– число сочетаний из n элементов по m (1.6).
Д оказательство.
Обозначим через появление события А в i-м испытании. Вероятность того, что А, наступают при определенных m испытаниях (например, с номерами ), а при остальных n-m не наступает, равна:
.
По теореме сложения вероятностей для несовместных событий (1.13), искомая вероятность равна сумме вероятностей полученного значения для всех возможных способов m появлений события А в n испытаниях. В соответствии с правилами комбинаторики, число таких способов определяется числом сочетаний из n по m (1.6):
.
Пример 4.1. После года хранения на складе в среднем 10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся годными:
а) 10,
б) больше половины.
Решение.
Проводится 12 независимых испытаний, состоящих в проверке годности аккумулятора. Для каждого из 12 аккумуляторов вероятность события А – аккумулятор после года хранения годный – по условию постоянна и равна:
А. Требуется определить вероятность того, что из 12 аккумуляторов ровно 10 будут годными, т. е. вероятность . Поскольку испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то эту вероятность можно определить по формуле Бернулли (1.24):
Б. Требуется определить вероятность того, что из 12 аккумуляторов более 12/2=6 будут годными, т. е. вероятность . При этом по теореме сложения для несовместных событий (1.13):
,
так как события не совместны.
Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то вероятности можно определить по формуле Бернулли (1.24):
При вычислении вероятностей в условиях большого числа испытаний n можно столкнуться со значительными вычислительными трудностями. В связи с этим возникла необходимость в построении асимптотических (приближенных) формул, позволяющих с достаточной степенью точности определить . Одними из них являются теоремы Муавра – Лапласа2