- •Основные понятия и теоремы теории вер-тей
- •1.Что изучает теория вер-тей
- •2.Что наз. Событием? Какие события достоверными, невозможными, случайными
- •6. Какие события называются единственно возможными. Приведите примеры
- •7. Какое множество событий образует полную группу событий? Приведите пример. Чему равняется сумма вер-тей событий, образующих группу?
- •8. Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.
- •9. Какие события наз. Достоверными и невозможными. Какими могут быть вероятности достоверного и невозможного события. Примеры
- •10. Формула, по которой вычисляется вер-ть.Может ли быть вер-ть больше 1.Бывает ли вер-ть отрицательной.
- •11. Статическое определение вероятности
- •12. Что называют статистической устойчивостью событий. Прибли-жается ли относ. Частота событий к его вероятности при увеличении числа испытаний? Почему? Пример.
- •14. Определеие произведения событий. Что обозначает а*в, если а иВ совместимые.
- •17. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
- •18. Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.
- •19. Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.
- •20.Теорема умножени вероятностей для зависимых событий
- •21.Теорема умножени вероятностей для независимых событий
- •22. Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий
- •23. Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.
- •24. Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?
- •Повторение независимых испытаний
- •25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?
- •26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?
- •27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.
- •28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).
- •29 В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.
- •30. Перечислите свойства функции Лапласа ф(х).
- •31. Сформулируйте теорему Пуассона. Как найти параметр λ?
- •Случайные величины
- •32. Опрделение сучайной величиы. Примеры непрерывных и дискретных случайных величин.
- •33. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •34. Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.
- •35. Какая функция наз. Интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •36. Какая функция наз. Дифференциальной функцией распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •37. Определение матемтического ожидания дискретной и непрерывной случ величины.
- •38. Свойства математического ожидания.
- •39. Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. Величины.
- •40. Сформулируйте св-ва дисперсии.
- •41 Определение начального и центрального моментов k-го порядка. Каковы простейшие соотношения между ними.
- •42.Определение моды и медианы.
- •43. Какой закон распределения называют биномиальным.
- •44. Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?
- •45. Какой формулой определяется равномерный закон распределения. Запишите формулу функции распределения для равномерного закона распределения и постройте ее график.
- •46. Какой дифференциальной функцией распределения случ. Величины определяется нормальный закон распределения. Объясните содержание параметров, кот. Входят в выражение этой функции.
- •47. Как влияют математичекое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой.
- •48. Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. Подлежит норм. Закону распред., принимает значения из интервала (a, b)
- •49. Сформулируйте првило трех сигм.
- •Системы случайных величин
- •50.Определение понятия системы случайных величин.
- •51. Закон распределения и функция распределения двух случ величин.
- •53. Закон распределения отдельной сл. Величины, кот. Входит в систему. Условный закон распределения
- •54. Численные характеристики системы двух случайных величин. Математ. Ожидание и дисперсия.
- •55. Численные характеристики системы двух случайных величин. Кореляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •Граничные теоремы теории вероятностей
- •56.Нервенство Чебышева и ее смысл.
- •57. Теорема Чебышева и ее смысл.
- •58. Теорема Бернулли и ее смысл.
- •59. Центральная предельная теорема теории вероятностей для одинаково распределенных случайных величин. Формулировка и смысл.
- •Основні поняття математичної статистики
- •Предмет математичної статистики. Що називається статистичною сукупністю?
- •Визначення генеральної й вибіркової сукупностей. Наведіть приклади.
- •Який статистичний метод називається вибірковим методом?
- •Що розуміється під репрезентативністю вибіркової сукупності? Помилки репрезентативності і їхні види.
- •Що таке емпірична функція розподілу?
- •Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Дисперсія і її властивості.
- •Запишіть формули, за якими обчислюються середня арифметична, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія й ексцес.
- •Перевірка статистичних гіпотез
- •3. Теорія статистичної оцінки
- •Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?
- •Яка оцінка називається ефективною? Яка оцінка називається спроможною?
- •Що називається довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра ? Що визначає довірча ймовірність ?
- •Запишіть довірчий інтервал для генеральної середньої якщо відомо величину .
- •Випадкові процеси
- •1.Определение случайного процесса. Примеры случайных процессов.
- •2.Поняття перерізу випадкового процесу. Приклади, смисл. Представлення випадкового процесу за допомогою перерізів.
- •3. Поняття реалізації випадкового процесу. Сімейство реалізацій. Приклади.
- •4. Поняття математичного сподівання випадкового процесу.
- •5. Поняття дисперсії випадкового процесу.
- •6. Класифікація випадкових процесів за часом. Класифікація випадкових процесів за станами.
Основные понятия и теоремы теории вер-тей
1.Что изучает теория вер-тей
Теория вероятностей - раздел математики, занимающийся вычислением вероятностей ожидаемых случайных событий, которые зависят от неопределенных или недостаточно известных причин.
Теория вероятности изучает законы, или статистические закономерности, которым подчиняются связи случайных событий. Так, например, если при условиях S событие A имеет определенную вероятность P, то можно утверждать, что при достаточно длинной серии из n испытаний при данных условиях событие A произойдет m раз, причем приблизительно будет выполняться соотношение m/n = P - эта формула выражает так называемое классическое определение вероятности.
Пример: если кидать шестигранный игральный кубик (это условие S) достаточно много раз, то четверка выпадет (это событие A) примерно в 1/6 случаях, т.е. P = 1/6.
В приведенном примере выпавшее на кубике число является случайной величиной, которая может принимать значение от 1 до 6, вероятность появления каждого из этих значений равно 1/6. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется распределением вероятностей случайной величины. В случае с игральным кубиком набор значений случайной величины носит дискретный характер, однако на практике чаще встречаются непрерывные распределения. Так, результаты химического анализа обычно подчиняются распределению Гаусса. В таких случаях вместо полного перечисления значений случайной величины и соответствующих вероятностей используют числовые характеристики распределения, наиболее употребительными из которых являются математическое ожидание и дисперсия
При изучении совместного распределения нескольких случайных величин пользуются коэффициентами корреляции и методами корреляционного анализа.
Теория вероятности широко применяется при изучении случайных величин и процессов в различных областях естествознания.
Достоверное событие.
2.Что наз. Событием? Какие события достоверными, невозможными, случайными
Событие – подмножество множества элементарных исходов.Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: И (истина). Пример: игральный кубик подбрасывается вверх, выпадет число от 1 до 6. Невозможное событие. Событие, которое никогда не произойдет при определенной совокупности условий. Обозначение: V при броске игральной кости невозможным событием– выпадение 10 очков, Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием. Случайное событие. Может произойти или не произойти при выполнении определенной совокупности условий. Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.Обозначение: A, B, C{\ldots} Напр. Извлеч. из колоды карта красной масти
3. дайте определение несовместных событий. Какие события наз. совместными. Приведите примеры.
Несовместны события А и В – если появление одного события исключает появление второго.Совместны – если появление одного события не исключает появления второго.Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные. день и ночь, студент одновременно едет на занятие и сдаёт экзамен, число иррациональное и чётное – не несовместные события.
Бросим два кубика. Число очков на грани одного кубика никак не влияет на число очков на грани другого кубика; два стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут – совместные события.
4. Какие события называются равновозможными. примеры.
События называются равно-возможными, если в результате испытаний ни одно из них не является более возможным, чем другое. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты— равно-возможные события. А)Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той иной стороны монеты. Б)Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости— равновозможные события. Действ., предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани. Пример. Студент может сдать экзамен на любую оценку. В данном случае возможны следующие события: студент может сдать экзамен на 5, студент может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3.
5.Какие события называются противоположными? Как определить вероятность противоположного события ¯А,если известно вероятность события А
Событие А' называется противоположным событию А , если не произошло событие А. Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле