- •Операції над лінійними операторами
- •Область значень і ядро лінійного оператора
- •Вироджені і невироджені оператори
- •Обернений оператор
- •Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора
- •Характеристичне рівняння лінійного оператора
- •Властивості власних векторів та власних чисел.
- •Лінійні оператори з простим спектром.
- •Зведення матриці до діагонального вигляду.
- •Задачі рекомендовані для розв‘язування в аудиторії
- •Задачі рекомендовані для розв‘язування дома
- •Задачі підвищеної складності
Модуль 4
Практичне заняття 1
Операції над лінійними операторами.
Ранг і дефект лінійного оператора.
Власні вектори і власні значення лінійного оператора.
Основні теоретичні відомості
Операції над лінійними операторами
Означення 2. Оператор , який кожному вектору ставить у відповідність вектор , називається сумою операторів і і записують .
Отже, означає, що .
[Тобто , оператор, який переводить в суму образів цього вектора].
Теорема 2. Сума лінійних операторів є лінійний оператор
Зауваження. Матриця суми лінійних операторів дорівнює сумі матриць лінійних операторів.
Означення 3. Добутком лінійних операторів і називається такий третій оператор , який визначається формулою
,
де , і записують .
Означена так дія множення операторів і полягає в послідовності дії операторів і .
Теорема 4. Добуток лінійних операторів – є лінійний оператор.
Означення 4. Добутком лінійного оператора на скаляр називається оператор, який визначається формулою:
],
тобто при множенні оператора на скаляр, образ кожного вектора множиться на цей скаляр .
Теорема 6. Добуток лінійного оператора на число є лінійний оператор.
Властивості .
1. .
2. .
3. .
4. .
Висновок. Множина лінійних операторів простору з визначеними на цій множині операціями “+” і “ ”, та множення на скаляр з поля , враховуючи властивості 1 – 4 є лінійним векторним простором над полем .
Якщо лінійним операторам і відповідають матриці і , то
матриця суми лінійних операторів у довільно вибраному базисі дорівнює сумі матриць доданків у тому ж базисі
;
матриця добутку лінійних операторів у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриць співмножників у тому ж базисі
;
матриця добутку лінійного оператора на деяке число у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриці оператора в тому ж базисі на число
.
Область значень і ядро лінійного оператора
Нехай – деяка підмножина , – лінійний оператор в . Сукупність образів усіх векторів з множини назвали образом множини відносно оператора і позначили .
не міститься в .
Теорема 8. Образ кожного лінійного підпростору простору відносно будь-якого лінійного оператора також є лінійний підпростір .
Означення 7. Сукупність образів всіх векторів простору називається областю значень лінійного оператора .
Для скорочення область значень лінійного оператора називають образом лінійного оператора і позначають („image” - образ).
Означення 8. Розмірність області значень називають рангом оператора і позначають .
Теорема 9. Ранг будь-якого лінійного оператора простору дорівнює рангу матриці цього оператора в довільно вибраному базисі .
Означення 9. Ядром лінійного оператора називають сукупність всіх векторів цього простору, що відображаються оператором в нульовий вектор .
Ядро оператора позначають символом Ker . (“kernel” – ядро).
Ядро оператора є лінійний підпростір .
Означення 10. Розмірність ядра оператора називають дефектом цього оператора.
Теорема 10. Сума рангу і дефекту будь-якого лінійного оператора простору дорівнює розмірності цього простору: