- •4.7.2 Формула Пуассона.
- •4.7.3 Формулы Муавра-Лапласа.
- •4.7.4 Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа.
- •4.8 Случайные величины
- •4.9 Дискретные случайные величины
- •4.10 Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •4.11 Числовые характеристики случайной величины
- •4.12. Законы распределения дискретной случайной велисины
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Простейший поток событий
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •4.13 Законы распределения непрерывной случайной величины Равномерное распределение.
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм.
4.7.2 Формула Пуассона.
Теорема 5 (Пуассона). Пусть число испытаний в схеме Бернулли велико , а вероятность успеха в одном испытании мала , причем мало также произведение . Тогда вероятность появления события раз в испытаниях вычисляется по формуле Пуассона
. |
(20) |
☺ Доказательство. Запишем формулу Бернулли
|
|
или с учетом обозначения ,
|
|
Так как при больших
|
|
Отсюда получаем формулу (20).☻
Пример: Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Требуется найти вероятность того, что в течение часа было не более 7 вызовов.
Решение: число вызовов. Нас интересуют значения Тогда
4.7.3 Формулы Муавра-Лапласа.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний велико, вероятность не близка к нулю , то для всех справедлива приближенная формула (локальная формула Муавра-Лапласа)
, |
(21) |
где ,
. |
(22) |
Функция называется функцией Гаусса, а ее график кривой вероятностей. Для функции Гаусса составлены таблицы значений (в «Приложениях»).
Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:
а) функция четная, т.е. ;
б) при можно считать, что .
Пример: Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.
Решение: Здесь Применим формулу (15). Имеем: следовательно, Учитывая, что получаем
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число велико, вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в пределах от до раз приближенно равна (интегральная формула Муавра-Лапласа)
|
(23) |
Используя функцию Гаусса, равенство (23) можно переписать в виде:
|
|
Для упрощения вычислений при использовании формулы (23), вводят специальную функцию
|
|
называемую нормированной функцией Лапласа.
Равенство (23) можно переписать в виде
|
(24) |
Наряду с нормированной функцией Лапласа используют функцию
. |
|
Эта функция называется функцией Лапласа.
Свойства функции :
1. .
2. .
3. .
4. при
5.
Таблицы функций приводятся в большинстве учебников по теории вероятностей.
Пример: Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия изделий бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?
Решение: Здесь (вероятность негодного изделия), . Вероятность принятия всей партии находим по формуле (24): здесь .
Находим , ,
Заметим, что