Лекция 3. Дифракция света (продолжение)
3.1. Дифракционная решетка
Простейшая дифракционная решетка (одномерная) представляет собой систему из большого числа (N) одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Обозначим ширину одной щели через , а величину промежутка - b, тогда d = + b - называется периодом (постоянной) дифракционной решетки.
Д ано: на дифракцион -
ную решетку (ДР) падает плоская монохромати -
ческая волна и плоскость щелей совпадает с фрон-
том падающей волны.
Найти: Арез (Iрез) в лю -
бой точке (или картину) на экране (Э).
При освещении ДР монохроматическим светом = const дифракционная картина на экране будет значительно сложнее, чем в случае одной щели, т.к. свет от разных щелей интерферирует дополнительно. Как и в предыдущем случае (одна щель) Арез (Iрез) можно вычислить, рассчитав соответствующий интеграл, что достаточно сложно.
Воспользуемся методом зон. В данных условиях колебания в соответствующих точках всех щелей происходят в одной фазе, т.к. они расположены на одной волновой поверхности. Кроме того, при малых m: Am Ai и Арез = , где N - число щелей, а Аi - амплитуда колебаний точки в i - ой щели, причем ее часть, определяемая углом (линза собирает соответствующие лучи). Поэтому Арез будет определяться только сдвигом фаз , зависящим от и . Соответствующие точки двух соседних щелей имеют = d sin и их можно представить как два когерентных источника. Тогда
или
Окончательно d sin = n (max), где n = 0,1,2, . . . .
Анализ.
а) Основное назначение ДР - раскладывать белый свет по длинам волн. По способу исполнения различают: плоскую или вогнутую ДР. По способу наблюдения: на отражение или на просвет.
б) Картина на экране симметрична, т.к. + = -. В центре n = 0 – главный максимум, справа (+) и слева (-) от него максимумы: n = 1 – первого, n = 2 – второго и т.д. порядков.
в) d sin = n (max) или sin (max) = Полученные значения синусов углов соответствуют главным максимумам интенсивности . Интенсивность света в них
Это выражение получается из расчета интеграла, как и для одной щели (без доказательства).
г) Главные минимумы соответствуют таким углам , для которых A (I) = 0, т.е. свет от разных частей одной только щели в результате интерференции "гасится". Условие главных минимумов, как и для щели, есть
sin = n , n = 1, 2, 3, ….
д ) Кроме главных максимумов на экране наблюдается большое число побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами Тогда минимуму слева соответствует sinmin =
= , справа - sinmin = . где n - число. При-
нимает все значе -
ния, кроме крат -
ных числу щелей.
е) Зависимость интенсивности I от sin для ДР можно представить на рисунке.
Т ак как Арез(ДР) = NAi, где Аi - результирую-
щая амплитуда коле-
баний от одной щели, а I A2 , то при воз-
растании числа щелей интенсивность долж -
на возрастать, но
уменьшается коли -
чество максимумов.
Таким образом, в мо-
нохроматическом све-
те картина на экране: Nd - узких, ярких максимумов, разделенных широкими темными промежутками.
ж ) Если d1 = d2 = d = const, n1 = n2 = const, но 1 > 2, d1 sin1 = n1 1 то из следует, что sin1 должен быть d2 sin2 = n2 2 больше, чем sin2 и лучи с большим значением отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Здесь мы впервые сталкиваемся с понятием спектра – это разложение света по длинам волн. Таким образом, при const на экране наблюдается "неокрашенный" центральный максимум и по обе стороны от него "окрашенные" максимумы (дифракционные спектры), в которых наблюдается переход цвета: фиолетовый красный (Ф < КР).
з) Дифракционная решетка характеризуется линейной и угловой дисперсией, а также разрешающей способностью. Первая и вторая характеристики - это угловое и линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 1 ангстрем ( ), т.е. Дугл = и Длин = Разрешающая способность (R) – это отношение длины волны света () к наименьшему интервалу длины волн (), который может разделить дифракционная решетка, т.е. где n - порядок спектра, N - число щелей.