30

Санкт-петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

Кафедра прикладной математики Факультет

Курс 2

Группа

Учебная дисциплина: Прикладная математика

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ В ТОНКОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ.

Студент: _____________________________

Научный руководитель: ______________

Оценка за курсовую работу: __________________________

Дата защиты: _______________________________________

Санкт-Петербург

2007

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………………………………………………… Исходные физические и математические модели ……………………………….. Цели и основные этапы работы …………………………………………………… Задание ……………………………………………………………………………… Задача регрессии, метод наименьших квадратов …………………………………. Проверка статистической гипотезы об адекватности модели экспериментальным данным ……………………………………………………………………………… Интервальное оценивание функции регрессии …………………………………… Задачи интерполяции ………………………………………………………………. Вычисление коэффициента теплоотдачи ………………………………………….. Вычисление интеграла методом трапеций ………………………………………… Приближенное вычисление определённого интеграла методом парабол ……….. Вычисление времени установления режима Т0 …………………………………… Решение нелинейного уравнения комбинированным методом …………………. Решение нелинейного уравнения методом итерации ……………………………. Решение краевой задачи ……………………………………………………………. Решение в нулевом приближении …………………………………………………. Решение задачи в первом приближении …………………………………………... Итоговый график …………………………………………………………………… Приложение …………………………………………………………………………. Вывод ………………………………………………………………………………… Список использованной литературы ……………………………………………….

Стр. 3 4 6 7 8 11 12 14 16 17 19 21 22 23 24 25 26 28 29 30 31

Введение

В решении любой (достаточно сложной) физической, химической, инженерной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели, выбор способа (алгоритма) решения полученной математической задачи и, наконец, численная реализация выбранного алгоритма (обычно с помощью ЭВМ). Три соответствующих элемента: математической модели, вычислительные алгоритмы, вопросы применения ЭВМ и являются предметом современной прикладной математики.

Все перечисленные этапы тесно связаны между собой. Так выбор вычислительного алгоритма определяется, с одной стороны, рассматриваемой математической моделью, а с другой – возможностями имеющихся в нашем распоряжении вычислительных средств (их объемом памяти, быстродействием). В частности требуют разного объема вычислений, не всегда одинаково легко получить оценку их погрешности и т. д.

При построении самой математической модели приходиться иметь в виду, что часть параметров обычно находят при помощи эксперимента. Стремление уменьшить объем экспериментальных исследований приводит, как правило, к усложнению математической модели, а следовательно, к более сложным алгоритмам.

Структура модели зависит и от того, насколько полно учтены про ее составлении те закономерности, которым подчиняется рассматриваемый объект.

Таким образом, одна и та же практическая задача может быть решена с помощью различных разделов математики, а также различными методами в рамках одного и того же раздела математики.

В курсовой работе нам предлагается конкретная практическая задача, решение которой требует размышлений по всем указанным выше вопросам, вынесения собственных суждений о том, какие разделы математики выступают здесь в качестве альтернативных, как соотносятся по простоте и точности различные конкретные методы, используемые на отдельных этапах.

Цель данной работы – научить осознанно с точки зрения практического применения осваивать основные разделы курса, привить практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающиеся на широкое использование методов прикладной математики.

Исходные физические и математические модели

В целом ряде практических задач, в частности, при изучении теплофизических и теплотехнических свойств новых материалов, возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещенного в высокотемпературный поток жидкости или газа.

Это исследование может проводиться либо на основании результатов эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путем анализа соответствующей математической модели.

Если совместить координатную ось ОХ с продольной осью стержня, то искомое распределение в установившемся режиме описывается функцией U=U(x), представляющей собой температуру точек стержня с координатой x (так как стержень предполагается тонким, то изменением температуры в направлении, перпендикулярном оси, можно пренебречь). Используя соответствующие законы теплофизики, можно показать, что рассматриваемая функция удовлетворяет уравнению:

-d/dx*(λ*dU/dx)+4*α/D=4*(α/D)*θ

где

λ - коэффициент теплопроводимости;

α – коэффициент теплопередачи;

D – диаметр стержня;

θ – температура потока;

Считая, что на концах стержня поддерживается постоянная температура θ₀,будем искать U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями:

U(-l/2)=U(l/2)=θ₀

На отрезке [-l/2; l/2] (l – длина стержня)

Коэффициент теплопроводности λ в общем случае не является постоянным, а представляет собой функцию температуры стержня. В первом приближении полагают эту функцию линейной:

λ=λ₀*[1+ σ_λ*(U - θ₀)]

Коэффициент теплоотдачи λ зависит от скорости потока и множества других факторов. Приближенно этот коэффициент можно найти как среднее значение функции:

α(t)=α₀*(1+e^-bt)

на некотором отрезке [0;T], т.е.

T

α=1/T ∫ α(t)dt

0

Время Т₀ , по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установленным, определяется по формуле:

T_O=D²/(a*ξ²)

где

а – коэффициент температуропроводности;

ξ – наименьший положительный корень;

ctg(x)=2*λ₀/(α*D)

Таким образом, если соответствующие параметра известны, распределение температуры U=U(x) находят, решая краевую задачу (1) – (2). Однако часто бывает так, что некоторые из этих параметров неизвестны (например, при исследовании теплофизических свойств новых материалов).

В этом случае искомое распределение можно найти, используя данные эксперимента, в котором производиться измерение температуры в нескольких точках стержня (x_i). Cчитая результаты измерения (U_i) случайными величинами с математическими ожиданиями

U(x_i) можно рассматривать U(x) как соответствующую функцию регрессии и получить ее оценку, применяя методы математической статистики.

Исходя из симметрии задачи, нетрудно видеть, что искомая функция U(x) является четной, поэтому будем искать ее в виде многочлена, содержащего лишь четные степени х:

_m

U=∑ a_k*x^2k

^k=0

(в дальнейшем ограничимся случаем m=2). При этом задача сводиться к отыскиванию оценок неизвестных параметров а_к, например, с помощью метода наименьших квадратов.

Если же погрешность измерений настолько мала, что допустимо практически считать U_i=U(x_i) то для нахождения значений U(x) в промежуточных точках можно воспользоваться интерполяционными формулами.