- •Порядок роботи:
- •Короткі теоретичні відомості.
- •1.Формулювання задачi.
- •2. Метод Ейлера та його модифiкації.
- •3. Методи Рунге-Кутта.
- •4. Оцiнювання похибки наближеного розв’язку задачі Кошi.
- •5. 3Адачі Коші для одного рівняння першого порядку.
- •Індивідуальні завдання:
- •Контрольні запитання
- •Рекомендована література:
Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Чисельні методи в інформатиці
Методичні вказівки
до виконання лабораторної роботи 7
«Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта»
для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»
Затверджено
На засіданні кафедри АСУ
Протокол №
Львів - 2012
Чисельні методи в інформатиці: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк, Б.І.Балич- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2012.-__ с.
Укладач Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.
Балич Б.І., канд.фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.
Рецензент Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.
Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта.
Порядок роботи:
Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу.
Отримання допуску до виконання лабораторної роботи.
Опрацювання типового навчального завдання (прикладів).
Створення проекту для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм розв’язування задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
6. Захист лабораторної роботи.
Короткі теоретичні відомості.
Тільки невелика кількість задач Коші, iнтегровних у явному виглядi, зустрічаються серед задач, якi потрiбно розв’язувати. Тому для розв’язування задач Коші широко використовують чисельні методи з їх реалізацією на комп’ютерах. При цьому особливо важливими є вибір потрібного методу і його програмної реалізації, а також підготування всіх даних, необхідних для роботи комп’ютерної програми.
Теоретичні засади найбiльш уживаних методiв розв’язування задач Кошi для звичайних диференційних рівнянь досить детально висвітленi в літературі, зокрема в [1]. Ми звернемо основну увагу на питания, пов’язані з практичною реалiзацiєю цих методів, для чого наведемо обчислювальнi формули розв’язування задач Коші та оцінки їхньої похибки, а також на6ір індивідуальних задач для практичної реалізаціїна комп’ютерах.
Методичні вказівки можуть бути використані студентами при виконанні індивiдуальних завдань лабораторних робіт із курсу «Чисельнi методи в інформатиці» .
1.Формулювання задачi.
Нехай на вiдрiзку потрiбно знайти розв’язок диференцiйного рiвняння
(1)
який задовольняє таку умову
(2)
Задачу (1)-(2) називають задачею Кошi для звичайногодиференцiйного рівняння першого порядку.
Будемо припускати, що функцiя f(х,у) неперервна та задовольняє умову Лiпшиця за у, тобто виконується
(3)
де L– деяка додатна стала. В цьому випадку задача Кошi має єдиний розв’язок на промiжку
2. Метод Ейлера та його модифiкації.
Розiб’ємо проміжок [а, b], на якому шукаємо розв’язок, на рiвномiрнi вiдрізки причому
Розрахункова формула методу Ейлера має вигляд
(4)
де .У випадку рівномiрного розбиття вiдрізка [а, b] точками отримасмо
Похибка обчислень на кожному кроцi цієї формули має порядок
Метод (4), як частковий випадок, належить до методiв Рунге-Кутта. З другого боку, метод Ейлера належить до іншого класу розрахункових формул – до рiзницевих методів Адамса.
Метод Ейлера є найпростiшим чисельним методом iнтегрування диференційного рівняння. Його недоліком є мала точнiсть. Проте, доведено [1]: якщо права частина F(х,у) рiвняння (4) неперервна, то послідовність (4) при h—>0 на достатньо малому відрізку [а,b] рiвномірно збігається до шуканої iнтегральної кривої . Розглянемо модифікацiї методу Ейлера, а саме: так званий метод Ейлера-Кошi, за яким обчислення наближеного розв’язку проводять так: спочатку вираховується грубе наближення
(5)
а далi знаходять точнiше наближення
(6)
Оцiнку похибки наближеного розв’язку можна одержати за допомогою подвiйного перерахунку: розрахунок проводять з кроками , а похибку точнiшого оцiнюють наближено:
Метод Ейлера-Коші можна ще бiльше уточнити, застосовуючи ітерацiйну обробку кожного знайденого значення , для чого спочатку обчислюють грубе наближення
(7)
а потім будують ітерацiйний процес за формулою
(8)
де S – номер ітерації, , S= 0,1,... Формули (7), (8) – розрахунковi формули методу Ейлера з iтерацiйним уточненням.
Ітераціi продовжують доти, доки два послідовні наближення не збігатимуться із заданою точнiстю. Далі за розв’язок приймають наближене значення .Якщо ж після виконання трьох-чотирьох iтерацій із вибраним значенням h потрібні знаки не співпадають, то тодi слід зменшити крок h.