1.Вероятностные пространства
Вероятностным пространством называется тройка <Ω, F, P> где Ω - произвольное множество (пространство элементарных событий), F – алгебра, заданная на этом множестве; P – функция, которая называется вероятностью.
Опр. Событием А называется некоторое подмножество множества элементарных событий. , . А происходит если происходит любое из элементарных событий ,… находящиеся в этом множестве. Элементарное событие (простейшее) это .
Если Ω – конечное или счетное, то можно рассматривать любые подмножества, Если Ω – бесконечное мощности континуум, подмножеств .
Опр. Алгеброй событий F называется такая совокупность подмножеств подмножества Ω, что:
1.
2. то (замкнуто относительно этих операцй).
Опр. Вероятностью Р называется функция или отображение со следующими свойствами:
(Аксиомы теории вероятности)
А1. Р определена на F(F*) и принимает значение во множестве вещественных чисел.
- вероятность события А.
А2.
А3.
А4. Если - конечная аддитивность. Событие AB= Ø – A и B несовместные события.
А5. Аксиома непрерывности
- бесконечная совокупность множеств вложенных друг в друга, тогда
Вместо аксиомы А4 и А5 можно было бы рассмотреть одну аксиому А4*
А4* -попарно-несовместные события, то
Следствия из аксиом(хз надо или нет)
1.
2.
3. -попарно-несовместные события, то
4. А и В – попарно пересекающиеся (совместные)
5.
6.
7.
8.
Формула умножения вероятностей (вероятности произведения):
- условная вероятность события А при событии В.
Опр. Условной вероятностью P(A|B) определяется как ,
- формула вероятности произведения.
При независимых событиях:
Формула сложения вероятностей
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Формула полной вероятности
Теорема:
Пусть А - интересующее нас событие, кроме него заданы события В1, В2,…,Вn с такими свойствами:
А В1+В2+…+Вn, Ø, i j т.е. события В1, В2,…,Вn несовместны. Если А наступило, то это произошло ровно при одном событии В. - формула полной вероятности.
Доказательство:
События В1, В2,…,Вn называют гипотезами. Идет перебор гипотез. В1+В2+…+Вn=Ω.
В этом случае говорят, что события В1, В2,…,Вn образуют полную группу событий.
Формула Байеса
Теорема:
Предположим, что А уже произошло. При какой гипотезе это случилось?
Пусть А - интересующее нас событие, кроме него заданы события В1, В2,…,Вn с такими свойствами:
А В1+В2+…+Вn, Ø, i j т.е. события В1, В2,…,Вn несовместны. Пусть стало известно, что событие А уже произошло, тогда , k=1,2,…
Доказательство:
- произошли вместе.
Формула Бернулли
, m успехов, n – испытаний.
. Набор всех таких вероятностей образует распределение Бернулли или биномиальное распределение.
- распределение Бернулли, n – число испытаний.
2. Случайные величины
Случайной величиной назовем числовую величину, значение которой до опыта неизвестно.
Случайной величиной ζ(кси) называется отображение: Ω R, , множество .
Коротко говоря, случайная величина ζ есть измеримое отображение относительно вероятности.
Функцией распределения случайной величины ζ называется функция .
Функция распределения играет роль закона распределения, закона определяющего поведение случайной величины.
Свойства:
1. определена для ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. Рассмотрим некоторую т. , т. - т. разрыва в этом случае, это разрыв I рода – скачок. Множество точек разрыва у монотонной функции не более чем счетно.
6. Определим ; .
7. Функция распределения непрерывна слева: .
Могут ли разные случайные величины иметь одинаковую функцию распределения? – ДА.
Опр. Случайная величина ζ называется дискретной если множество ее значений конечно или счетно (не более чем счетно).
Опр. Непрерывная с.в. это такая величина, множество значений которой несчетно.
Опр. С.в. ξ называется непрерывной, если для , где - плотность распределения, и она является еще одной формой закона распределения случайной величины.
Свойства функции плотности распределения:
1. определена
2.
3.
4.
Для непрерывной с.в. каждое отдельное значение принимаем с вероятностью 0.
Из этого следует, что в свойстве 3) можно расставлять строгие и нестрогие знаки неравенства.
5. . Нормировочное свойство плотности.
6. x, x+dx – малое приращение.
, т.е. функцию плотности можно представить как вероятность приходящаяся на единицу длины.
7. , x – т. непрерывности .