Полином Ньютона.
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1,1 |
1,3 |
1,5 |
y |
3,150 |
3,171 |
3,181 |
3,179 |
3,165 |
3,140 |
Рассчитаем конечные разности:
∆у0=у1-у0 ∆2у0=∆у1-∆у0 ∆3у0=∆2у1-∆2у0 ∆4у0=∆3у1-∆3у0 ∆5у0=∆4у1-∆4у0
∆у1=у2-у1 ∆2у1=∆у2-∆у1 ∆3у1=∆2у2-∆2у1 ∆4у1=∆3у2-∆3у1
∆у2=у3-у2 ∆2у2=∆у3-∆у2 ∆3у2=∆2у3-∆2у2
∆у3=у4-у3 ∆2у3=∆у4-∆у3
∆у4=у5-у4
Полученные данные сведем в таблицу:
|
у |
∆у |
∆2у |
∆3у |
∆4у |
∆5у |
0 |
3,150 |
0,021 |
-0,011 |
-0,001 |
0,001 |
0 |
1 |
3,171 |
0,010 |
-0,012 |
0 |
0,001 |
|
2 |
3,181 |
-0,002 |
-0,012 |
0,001 |
|
|
3 |
3,179 |
-0,014 |
-0,011 |
|
|
|
4 |
3,165 |
-0,025 |
|
|
|
|
5 |
3,140 |
|
|
|
|
|
Интерполяционная формула Ньютона:
P5(x)=
По условию задачи h=0,2.
P5(x)=
P5(x)=3,150+0,105(х-0,5)+(-0,1375)(х2-1,2х+0,35)+(-0,021)(х3-2,1х2+1,43х-0,315)+0,026(х4-3,2х3+3,74х2-1,89х+0,35)+0
P5(x)=3,150+0,105х-0,0525+(-0,1375х2)+0,165х-0,048+(-0,021х3)+0,044х2-0,03х+0,007+0,026х4-0,0832х3+0,097х2-0,049х+0,009
P5(x)=0,026х4-0,104х3+0,003х2+0,191х+3,066
Построим получившийся график.
Произведем проверку:
P5(1)=0,026*0,74-0,104*0,73+0,003*0,72+0,191*0,7+3,066=3,171
P5(2)=0,026*0,94-0,104*0,93+0,003*0,92+0,191*0,9+3,066=3,181
P5(3)=0,026*1,14-0,104*1,13+0,003*1,12+0,191*1,1+3,066=3,179
P5(4)=0,026*1,34-0,104*1,33+0,003*1,32+0,191*1,3+3,066=3,165
P5(5)=0,026*1,54-0,104*1,53+0,003*1,52+0,191*1,5+3,066=3,140
После проведенной проверки найдем F(х**)
F(1.35)=3.16
Полином Лагранжа.
P5(x)=
P5(x)=
Р(х)=0,13020833333333334*х4-0,500000000000000024*х3+0,5494791666666666698*х2-0,13000000000000001452*х+3,131992187500000000
Проверим полином по табличным координатам:
Р(0,5)=3,150 ; Р(0,7)=3,171; Р(0,9)=3,181; Р(1,1)=3,179; Р(1,3)=3,165.
по полученному полиному вычисляем Р(х*):
Р(х*)→Р(0,55)=3,155
Проведем оценку погрешности:
ЗАДАЧА № 3
Найти наименьший положительный корень уравнения комбинированным методом с точностью до 0,0001. Уравнение: 3 – x – lg
Краткая теоретическая часть:
Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень ξ отделён и находится на отрезке [a,b].
Если f (x)·f ″(x) < 0, то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком.
Если f (x)·f ″(x) > 0, то метод хорд даёт приближение корня с недостатком, а метод касательных – с избытком.
Рассмотрим случай, когда f (b) < 0, f ″(x) > 0 (рис.1), то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b – значения, полученные по методу хорд.
Рис.1 Иллюстрация комбинированного метода.
Тогда , .
Теперь истинный корень ξ находится на интервале [a1,b1]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем:
,
и вообще
, . (1)
Для случая, когда f (b)·f ″(x) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:
, . (2)
Комбинированный метод очень удобен при оценке погрешности вычислений. Процесс вычислений прекращается, как только станет выполняться неравенство
|bn+1–an+1| < ε.
Корень уравнения есть среднее арифметическое последних полученных значений: ξ=(an+1+bn+1)/2
Решение:
Сначала найдем точное решение в Mathcad
х=2,622652
Построим графики Функции и 2х ее производных
Далее для приближенного вычисления применим метод хорд и касательных
Возьмем отрезок равный единице в месте пересечения только нашей функции с осью Х
Определим где касательная, а где хорда
- Касательная
– Хорда
Подставим данные в таблицу Excel:
i |
Xx |
Zx |
F(x) |
F(z) |
dF(x) |
E |
0 |
2 |
3 |
0,74036269 |
-0,43572857 |
-2,1512925 |
1 |
1 |
2,3441478 |
2,6295113 |
0,3272598 |
-0,0079936 |
-1,9822696 |
0,2853634 |
2 |
2,5092414 |
2,6227072 |
0,1326089 |
-0,0000643 |
-1,9176419 |
0,1134658 |
3 |
2,5783934 |
2,6226522 |
0,0516501 |
-0,0000002 |
-1,8930309 |
0,0442588 |
4 |
2,6056777 |
2,6226520 |
0,0197942 |
0,0000000 |
-1,8836799 |
0,0169743 |
5 |
2,6161860 |
2,6226520 |
0,0075380 |
0,0000000 |
-1,8801305 |
0,0064660 |
6 |
2,6201953 |
2,6226520 |
0,0028637 |
0,0000000 |
-1,8787838 |
0,0024567 |
7 |
2,6217196 |
2,6226520 |
0,0010869 |
0,0000000 |
-1,8782728 |
0,0009325 |
8 |
2,6222982 |
2,6226520 |
0,0004124 |
0,0000000 |
-1,8780790 |
0,0003538 |
9 |
2,6225178 |
2,6226520 |
0,0001564 |
0,0000000 |
-1,8780055 |
0,0001342 |
10 |
2,6226011 |
2,6226520 |
0,0000593 |
0,0000000 |
-1,8779776 |
0,0000509 |
11 |
2,6226327 |
2,6226520 |
0,0000225 |
0,0000000 |
-1,8779670 |
0,0000193 |
12 |
2,6226447 |
2,6226520 |
0,0000085 |
0,0000000 |
-1,8779630 |
0,0000073 |
Корень |
2,62264835179927 |
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА № 4
Найти численное решение задачи Коши для данного дифференциального
уравнения и начального условия на отрезке с шагом методом Эйлера.
Дифференциальное уравнение:
Начальное условие:
Отрезок: [1.6; 2.6]