- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава IV НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования
- •1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
- •1.2 Таблица основных интегралов
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •2.1 Интегрирование методом разложения
- •2.2 Интегрирование методом замены переменной
- •2.3 Интегрирование по частям
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
- •§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Глава V ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
- •§ 2. Понятие определенного интеграла
- •§ 3. Свойства определенного интеграла
- •§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
- •§ 5. Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
- •§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1 Вычисление площади в Декартовых координатах
- •8.2 Вычисление площади в полярных координатах
- •§ 9. Длина дуги плоской кривой
- •9.1 Вычисление длины дуги в Декартовых координатах
- •9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат
- •§ 10. Объем тела
- •Глава VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка
- •§ 6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.1 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.3 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •7.1 Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства
- •7.1.1 Линейные уравнения без правой части
- •7.1.2 Линейные уравнения с правой частью
- •7.4 Метод вариации произвольных постоянных
- •7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •§ 8. Системы дифференциальных уравнений
- •8.1 Общие определения. Нормальные системы уравнений
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
10
§3. Интегрирование простейших рациональных дробей
Кпростейшим рациональным дробям относят следующие дроби четы-
рех типов:
I. |
|
|
A |
; |
|
|
|
|
|
|
|
III. |
Mx + N |
; |
|
||||
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II. |
|
|
A |
|
|
, |
n = 2, 3, ... ; |
|
|
IV. |
|
Mx + N |
|
, n = 2, 3, ... , |
|||||
|
(x − a)n |
|
|
|
(x2 + px + q)n |
||||||||||||||
где |
A , M , N , |
p , q , a – действительные числа, а трехчлен |
x2 + px + q не |
||||||||||||||||
имеет действительных корней, т.е. p2 − 4q < 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Рассмотрим теперь как интегрируется каждый из четырех типов про- |
||||||||||||||||||
стейших рациональных дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
⌠ A |
|
|
|
⌠ dx |
⌠ d (x − a) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I. |
|
|
|
dx = A |
|
|
= A |
|
|
= A ln |
x − a |
+C . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
⌡ x − a |
|
|
⌡ x − a |
⌡ |
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.
|
⌠ |
|
3dx |
= 3 |
⌠ d(x +5) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
⌡ x +5 |
|
|
|
⌡ x +5 |
||||
|
⌠ |
|
A |
|
|
|
|
⌠ |
|
II. |
|
|
|
|
|
|
dx = A (x |
||
|
(x − a) |
n |
|||||||
|
⌡ |
|
|
|
|
⌡ |
|||
|
= |
|
|
|
|
A |
|
+C . |
|
|
(1 − n)(x − a)n −1 |
= 3 ln x +5 +C .
− a)−n d(x − a) = A (x − a)1−n +C =
1 − n
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
⌠ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
1)−2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( x −1) |
|
d (x −1) = |
|
|
|
|
|
+C = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
−1) |
3 |
|
|
|
− |
2 |
|
2(x −1) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
⌡ (x |
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
⌠ Mx + N |
|
|
|
|
|
|
t = 1 (x2 |
|
+ px + q)′ = x + |
p |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
III. J = |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
⌡ x2 |
+ px + q |
|
|
|
|
x = t − |
|
|
, dx = dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
⌠ |
|
|
|
|
|
M (t − p 2) + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ Mt + N − Mp 2 |
|
|
|
|
|
q − |
p2 |
= a2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
4 |
|
= |
||||||||
|
2 |
− pt + p |
2 |
4 |
+ pt − p |
2 |
2 |
+ q |
|
t |
2 |
+ q − p |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
⌡ t |
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
⌠ |
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
⌠ |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= M |
|
|
|
|
|
|
+ |
N − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M J1 |
+ N − |
|
|
|
|
J2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
+ a |
2 |
2 |
|
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
⌡ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
J1 = |
|
⌠ |
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
= |
1 |
⌠ d (t2 |
|
+ a |
2 ) |
= |
|
1 |
ln (t |
2 |
|
+ a |
2 |
) |
|
+C1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + a2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ t |
|
|
|
⌡ t2 + a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
J2 = |
|
⌠ dt |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
⌠ dt |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 ⌠ |
|
d (t a) |
|
|
|
= |
|
|
1 |
arctg |
t |
+C2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ a |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
(t a) |
2 |
|
|
|
|
|
+ (t a) |
2 |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ⌡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
J = M |
|
|
|
|
ln(t |
|
|
|
+ a |
|
) + |
|
|
N − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
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+C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ln(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N − |
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ px + q) + |
|
|
2 |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q − |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q − |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Пример 3. |
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⌠ |
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2x −1 |
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dx |
= |
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t = |
1 |
(x2 |
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+ 2x +10)′ = x +1, |
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= |
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⌠ |
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2(t −1) −1 |
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dt = |
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2 |
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2 |
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− 2t |
+1+ 2t − 2 + |
10 |
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⌡ x |
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+ 2x +10 |
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x = t −1, |
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dx = dt |
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⌠ 2t − |
3 |
dt |
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⌠ |
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tdt |
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⌠ |
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dt |
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2J1 −3J2 = J . |
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= |
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= |
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2 |
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− |
3 |
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= |
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9 |
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9 |
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⌡ t 2 + |
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⌡ t 2 +9 |
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⌡ t 2 + |
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J1 |
= |
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⌠ |
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tdt |
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= |
1 |
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⌠ d(t2 + 9) |
= |
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1 |
ln(t |
2 |
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+ 9) +C1 . |
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2 |
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2 |
+ 9 |
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2 |
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⌡ t2 + 9 |
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⌡ t |
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J2 |
= |
⌠ dt |
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= |
1 |
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⌠ dt |
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= |
1 |
⌠ |
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d(t 3) |
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= |
1 |
arctg |
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t |
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+C2 . |
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2 |
+ 9 |
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9 |
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+ (t 3) |
2 |
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3 |
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+ (t 3) |
2 |
3 |
3 |
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⌡ t |
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⌡1 |
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⌡ 1 |
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J = ln(t 2 + 9) − arctg |
t |
+ C = ln(x2 + 2x +10) − arctg |
x +1 |
|
+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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3 |
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|||||
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Пример 4. |
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⌠ |
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3x − 2 |
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dx = |
|
t = |
1 (x2 + |
2x +10)′ = x +1, |
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⌠ |
3(t −1) − 2 |
dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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= |
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2 + 2x +10)3 |
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(t2 |
+ |
9)3 |
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⌡ (x |
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x = t −1, |
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dx = dt |
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⌡ |
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⌠ |
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|
tdt |
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⌠ |
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|
|
dt |
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= J . |
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|||||||||||||||||||||||||
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= |
3 |
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−5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(t |
2 |
+ 9) |
3 |
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(t |
2 |
+ 9) |
3 |
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⌡ |
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⌡ |
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|||||||||||||||||||||||||||
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⌠ |
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|
|
|
tdt |
|
|
|
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|
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|
= |
|
|
1 ⌠ d (t2 + 9) |
|
= 1 (t2 |
|
+ 9)−2 |
1 |
|
|
|
+ C |
|
|
= |
|
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|
−1 |
|
|
|
+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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3 |
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2 |
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3 |
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2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(t |
|
+ 9) |
|
|
|
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2 |
|
(t |
+ 9) |
|
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2 |
|
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− 2 |
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1 |
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|
4(t |
+ 9) |
|
|
1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
⌡ |
|
|
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|
|
⌡ |
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12
⌠ |
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dt |
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⌠ t 2 +9 −t 2 |
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1 |
⌠ |
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dt |
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⌠ |
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t 2 |
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= |
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2 |
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− |
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dt |
= |
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2 |
+9) |
3 |
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9 |
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(t |
+ |
9) |
9 |
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2 |
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+9) |
2 |
(t |
2 |
+9) |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
⌡ |
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⌡ |
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⌡ (t |
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⌡ |
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|||||||||||||||||||||
1 |
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⌠ |
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9 |
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+ 9) |
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|||||||||||||
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2 |
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3 |
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+9) |
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2 |
+9) |
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+9) |
2 |
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||||||
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9)2 |
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4(t2 + |
9)2 |
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4(t2 + 9)2 |
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⌡ |
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J3 |
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t |
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9 |
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2 |
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2 |
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4 |
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+ 9) |
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J2 |
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dt |
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1 ⌠ t2 + 9 −t2 |
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1 |
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⌠ |
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dt |
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⌠ t2dt |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
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2 |
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2 |
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− |
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||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
+ |
9) |
2 |
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(t |
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+ 9) |
9 |
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2 |
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+ 9 |
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2 |
+ 9) |
2 |
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⌡ (t |
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9 ⌡ |
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1 |
⌠ dt |
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= |
1 |
⌠ |
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d (t 3) |
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= |
1 |
arctg |
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t |
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+C2 ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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+ 9 |
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9 |
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2 |
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3 |
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3 |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⌡ t |
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⌡1 + (t 3) |
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⌡1 + (t 3) |
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⌠ |
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t 2 dt |
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u = t, |
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du = dt, |
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2 |
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⌠ d(t |
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+9) |
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2 |
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2 |
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⌡ |
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(t |
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+9) |
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dv = |
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2 |
+9) |
2 |
, v |
= |
2 |
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(t |
2 |
+9) |
2 |
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= |
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2(t |
2 |
+9) |
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(t |
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⌡ |
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= |
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− t |
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+ |
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⌠ |
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|
dt |
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|
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|
= |
|
|
− t |
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+ |
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1 |
arctg |
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t |
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+C3 ; |
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2(t2 + |
9) |
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6 |
3 |
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⌡ 2(t2 + 9) |
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2(t2 + 9) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
J2 |
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1 |
|
1 arctg |
t |
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|
|
t |
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|
|
|
|
|
1 arctg |
|
|
t |
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+C4 = |
|
1 |
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|
1 arctg |
t |
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|
t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
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|
+ |
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− |
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|
+ |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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9 |
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2(t |
2 |
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+ 9) |
3 |
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9 |
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|
2(t |
2 |
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3 |
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3 |
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6 |
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6 |
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3 |
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+ 9) |
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J |
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|
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1 |
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1 |
|
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|
1 |
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|
t |
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t |
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t |
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3 |
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= |
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arctg |
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+ |
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5 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
|
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|
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 |
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6 |
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3 |
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2(t |
+ 9) |
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|
4(t |
+ 9) |
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12 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
J = |
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|
− 3 |
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5 1 |
|
1 |
|
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|
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|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
+C = |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
− |
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|
|
|
arctg |
|
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|
+ |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4(t |
+ 9) |
|
|
|
|
|
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|
9 |
12 |
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2(t |
|
|
+ 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4(t |
+ 9) |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
−1 |
arctg |
x +1 |
|
− |
|
|
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5 |
|
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|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
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|
27 + 2(x +1) |
|
|
+C . |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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324 |
|
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108 |
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x2 + 2x +10 |
|
4(x2 + 2x +10)2 |
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|
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3 |
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