- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1 Классификация событий. Действия над событиями
- •1.2. Относительная частота
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Элементы комбинаторики
- •Примеры решения задач
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Сложение и умножение вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
- •Свойства:
- •1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
- •2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Примеры решения задач
- •Глава 3. Повторные испытания
- •3.1 Формула Бернулли
- •3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
- •Примеры решения задач
- •Глава 4. Дискретные случайные величины
- •4.1. Дискретные случайные величины.
- •4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
- •4. Моменты случайных величин.
- •5. Характеристики формы распределения.
- •4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.
- •1. Ковариация.
- •2. Корреляция.
- •4.4. Распределения дискретных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение.
- •2. Геометрическое распределение.
- •4. Биномиальное распределение.
- •5. Распределение Пуассона.
- •Примеры решения задач
- •Глава 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения случайной величины
- •5.2. Плотность распределения вероятностей.
- •Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей.
- •5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примеры решения задач
- •Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
- •6.1. Равномерное распределение.
- •6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •6.3. Нормальное распределение
- •Примеры решения задач
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
1.1 Классификация событий. Действия над событиями
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.
Событием называют возможный результат испытания.
Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлен определенный комплекс условий.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлен комплекс условий.
Случайным называют событие, которое при осуществлении комплекса условий может либо произойти, либо не произойти.
События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Два события называются противоположными, если появление одного их них равносильно не появлению другого.
Событие А и В называются независимым, если появление события А не влияет на появление события В.
Событие А и В называются зависимым, если появление события А влияет на появление события В.
Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием). Эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий и они равновозможны. Те элементарные исходы, в которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.
Суммой, или объединением двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Сумма двух событий А и В обозначается или .
Суммой n событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Сумму n событий обозначают
Произведением, или пересечением двух событий А и В называют событие, состоящее в одновременном появлении этих событий. Произведение двух событий А и В обозначается АВ или .
1.2. Относительная частота
Относительной частотой появления события А называется отношение числа испытаний М, в которых появилось событие А, к общему числу испытаний N:
. (1.1)
Вероятность события имеет следующие свойства:
Свойства:
1. Относительная частота достоверного события равна единице.
Для достоверного события , поэтому .
2. Относительная частота невозможного события равна нулю.
Для невозможного события т = 0, следовательно, .
3. Относительная частота случайного события выражается положительным числом, заключенным между нулем и единицей.
.
4. Относительная частота любого события удовлетворяет неравенствам
.