- •§ 12.Смешанное пориведение
- •Вычисление смешанного произведения.
- •§ 13.Уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •§14 Общее ур-е пл-ти и его исследование
- •§15 Уравнение пл-ти в отрезках.
- •§16 Уравнение пл-ти проходящей через
- •§17 Угол между двумя плоскостями.
- •§18 Расстояние от точки до плоскости
- •§19 Общие ур-я прямой в пространстве
- •§ 20. Уравнение прямой
- •21. Уравнение прямой проходящей через
- •§ 22. Переход от общ.
- •§23. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.
- •§24. Задача о пересечении
- •§ 25. Кривые второго порядка.
- •§26 Гипербола.
- •§27 Парабола
- •§28 Преобраз парал переноса.
- •§29 Исследование пятичленного ур-я
- •§1. Матрицы и действия над ними.
Таким образом векторное произведение есть вектор = определителю в 1 строке которого расположены координатные орты а в 2-ух других координаты перемножаемых векторов.
Пример: a=(3;3;1) b=(2;-2;-1)
=(-3+2)j-(-3-2)j+(-6-6)k=-i+5j-12k=(-1;5;-12)
Обязательная проверка:
c·b=(-1)*2+5*(-2)+12*(-1)=-2-10+12=0
§ 12.Смешанное пориведение
3-ёх ВЕКТОРВ.ГЕОМЕТР.СМЫСЛ И ВЫЧИСЛЕНИЕ .НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ КОМПЛОНАРНОСТИ 3-ёхВЕКТОРОВ.
Опр:
Смешанным произведением 3 векторов наз число вычисляемое по правилу :
(a´b)c.Где первые два вектора
перемножаются векторно,а их произведение умножается скалярно на 3 вектор.
Выясним геометрический смысл произведения .Выясним от чего зависит знак.введём вспомогательный вектор d
d=a´b (a´b)c =dc d c
b
a
c1
dc>0,если угол между dc-острый
а острый он для всех Ð ,которые лежат над пл-тью ab.Но все такие векторы дают правую тройку векторов abc.
dc<0,если угол между dc-тупой
Смысл | (a´b)c |
d
b c
a =|d|*прd c(±H)=±Vпар-да
S ¯
c¯
d
c
b
H
a
Вывод: Смешанное пр-е численно равно V параллелепипеда построенного на векторах
a,b,c и взятого со знаком + если a,b,c-правая
и со знаком – если a,b,c-правая.
Вычисление смешанного произведения.
Оказывается смежное произведение равно
(a´b)c =
Док-во:
(a´b)c=dc=cd= (по св-вам скаляр. пр-я)
= =
=
Св-ва смешанного произведения
(и определителя).
1.При круговой перестановки векторов смешанное произведение не меняется.
( a´b)c=(c´a)b=(b´c)a a b
Д ок-во: c
1)объём не не меняется
2)ориентация не меняется.
2.Если поменять местами знаки ´ и *,то результат не изменится.
(a´b)*c=a*(b´c)
Док-во:
(a´b)*c=(c´a)*b=а*(b´c) (по св-ву скалярногопроизведения)
Это позволяет записывать смешанное произведение вообще без знаков:
3.При перестановки местами двух векторов произведение меняет знак на противоположный. bac= -abc
Док-во:
1) Объём не меняется
2) Ориентация меняется
4.abc=0Ûa,b,c-комплонарны
Док-во:
В этом случае объём равен 0.
Частные случаи:
1) Один вектор нулевой.
2) Два вектора коллинеарны
(в частности b=a)
Следствие:
Необходимое и достаточное условие комплонарности трёх векторов.
Три вектора комплонарны тогда и только тогда когда определитель составленный из их координат равен 0.
a;b;c
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Плоскость и прямая в пространстве.
§ 13.Уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
n
a
Опр.
Ненулевой вектор n ^ пл-ти называется нормальным вектором пл-ти.
Рассмотрим задачу :
Дана система координат,пл-ть a,известен нормальный вектор плоскости a,известна точка М0Îa.
n=(A,B,C)
n^a
M0=(x0,y0,z0)
Рассмотрим текущую точко М в пл-ти a.
z n= (A,B,C)
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
y
x
Характеристическим свойством какого-либо множества называется такое свойства которое присуще любому элементу данного множества и отсутствует у элементов неÏ данному множеству.
М0М=(x-x0,y-y0,z-z0)
Характеристическим свойством пл-ти a является условие n^М0М.
Запишем это условие в координатах
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Пример: n=(1;-2;3) M0(2;4;0)
1 (x-2)-2(y-4)+3(z-0)=0 z
x -2y+3z+6=0 -2
-6 3 y
x