- •11.Формула полной вероятности и Байеса.
- •15.Локальная теоремы Муавра-Лапласа.
- •16. Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).
- •14.Теорема Пуассона.
- •9,Условная вероятность..
- •12,13Схема независимых испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.
- •33,Дисперсия (дискретной ) случайной величины.
- •29,Случайные величины. Функции распределения и их свойства.
- •30,. Дискретные случайные величины. Законы распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.
- •32.Мат ожидание дсв и их свойства.
- •23.Непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения.
- •36, Ковариация .
- •22,Свойства плотности распределения.
- •37,Коэффициент корреляции и его св-ва.
- •42, 43.Закон больших чисел.
- •7. Комбинаторные ф-лы.
- •19 Понятие случайной величин
- •20. Закон распределения дискретной случайной величины
- •10. Вероятностьпроизведения событий
- •44. Центральная предельная теорема
- •35. Моменты случайной величины
- •17,Вероятность отклонения относительной частоты
11.Формула полной вероятности и Байеса.
Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности: , или . ▲Так как события образуют полную группу, то можно записать . Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i {1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей ▲
Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:
,
Доказательство: По теореме умножения вероятностей
. Отсюда находим вероятность . Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.
15.Локальная теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).
Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях.
, где ; , q=1-p.
Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х).
16. Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0<p<1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях определяется выражением: , где —функция Лапласа, , , .
Функция Лапласа—нечетная, т.е. . Значения находят по таблице.
Следствие из интегральной теоремы Муавра Лапласа.
Пусть выполнили условие применимости интегральной теоремы М.Лапласа, тогда:
1)Вер-ть того, что число m наступлений события А в n испытаниях отличается от величины np не более, чем на эпсило (E) (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:
2)Вер-ть того что частость (доля) m/n наступлений событий А в n испытаниях отличается от вер-ти р не более чем на (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:
14.Теорема Пуассона.
Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях стремится к величине , то есть .
▲ По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях
9,Условная вероятность..
Опр. Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). . .
Теорема (умножение вероятностей): .
Теорема (обобщенная теорема умножения).
.
Доказательство:
.
8, Независимость собОпр. События А и В называются независимыми, если .
Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B). . Пусть P(B/A)=P(B), тогда А и В независимы.
Опр. События А1,А2,…,Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если (для i≠j; i,j {1,2,3,…,n})–попарная независимость событий; , …,
.