- •Часть 1.
- •1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.
- •2.Свойства несобственных интегралов I рода.
- •3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.
- •4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.
- •5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.
- •6.Необходимый признак сходимости. Пример.
- •7.Остаток ряда. Теорема о сходимости ряда и его остатка.
- •8.Свойства сходящихся рядов.
- •10.Сходимость ряда геометрической прогрессии.
- •11.Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости.
- •12.Интегральный признак сходимости. Ряды Дирихле.
- •13.Первый признак сравнения. Пример.
- •14.Второй (предельный) признак сравнения. Пример.
- •15.Признак Даламбера.
- •16.Признак Коши.
- •17.Ряды с элементами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость.
- •22.Функциональный ряд, его область сходимости. Сумма функционального ряда.
- •23.Отыскание области сходимости функционального ряда (пример).
- •24.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
- •25.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •26.Поэлементное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящегося ряда.
- •27.Степенные ряды. Первая теорема Абеля.
- •28.Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Непрерывность суммы степенного ряда.
- •29.Теоремы о поэлементном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.
- •30.Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
- •31.Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.
Часть 1.
1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.
Пусть f определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
Если не существует конечного , то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть f определена и непрерывна на множестве от . Тогда:
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
Если не существует конечного , то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция f определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
2.Свойства несобственных интегралов I рода.
1. Если существует , то существует . При этом
.
2. Если существует , то .
3. Если существует , то существует .
4. Если существуют и , то существует
3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.
Найти v.p. .
Может оказаться, что несобственного интеграла в смысле нет, но существует интеграл в смысле а = b,
,
и это значение интеграла называется его главным значением:
.
Если функция f(x) нечётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен нулю, и поэтому для нечётной функции
.
Если функция f(x) чётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка интегрирования, и поэтому для чётной функции
.
Например,
.
4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.
Если несобственный интеграл равен конечному числу, говорят что он сходится, если равен или не существует, то говорят что он не сходится.
Пусть и непрерывны на и . Тогда:
1)Из сходимости большего интеграла следует сходимость, меньшего интеграла
2)Из расходимости меньшего интеграла следует расходимость большего интеграла.
Интегралы Дирихле
Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную F, то есть
; функция ; . Тогда сходится. |
Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако, условие монотонности не является необходимым.
— сходится.
Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.
Числовым рядом называется выражение вида где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: . Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают: Если не существует или = , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.