- •16 Билет
- •1 Привидение плоской системы сил к простейшему виду
- •2 Теорема. Ускорение любой точки тела при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.
- •Доказательство
- •3 Первый закон: Материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на неё не действуют силы или действующие силы на точку уравновешены.
- •Варианты аналитических уравнений равновесия
16 Билет
1 Привидение плоской системы сил к простейшему виду
Рассмотрим систему сил (F1, F2,..., Fn), расположенных в одной плоскости. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, приведем рассматриваемую систему сил к одной силе F0=åFk, (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту M0=åM0(Fk), (5.2) где Мо(Fk)– момент силы Fk относительно центра приведения О. Так как силы распол в одной пл-ти, то сила Foтакже лежит в этой плоскости. Момент пары Мо направлен перпендикулярно этой плоскости, т.к. сама пара распол в пл-ти действия рассматриваемых сил. Т.о., для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1). Момент полностью характеризуется алгебраической величиной Mz, равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение-» пары происходит, против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Пусть, например, даны две пары, (F1, F`1) и (F2, F`2) (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем Mz(F1,F`1)=h1F1, MZ(F2,F'2)=-h2F2. Моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет Moz(F1)=hF1, Moz(F2)=–hF2 (5.4). Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов. Модули момента пары и момента силы обозначаются следующим образом: М(F,F')=| Мz(F,F`)|, Мо(F)=|МОz(F)|. Получим, Moz=åMoz(Fz). Для аналитического определения главного вектора применяются формулы: Fox=åFkx=F1x+F2x+…+Fnx, Foy=åFky=F1y,+F2y+…+Fny, Fo=(F2ox+F2oy)1/2=([åFkx]2+[åFky]2)1/2 (5.8); cos(x, Fo)=Fox /Fo, cos(y, Fo)=FOy/Fo.(5.9). А главный момент равен МОz=åMOz(Fk)=å(xkFky–ykFkx), (5.10) где xk, yk– координаты точки приложения силы Fk.
Докажем, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Пусть Fo≠0, МОz ≠0 (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с моментом MOz. Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил F1 и F`1, равных по модулю главному вектору Fo, т. е. F1=F`1 =Fo. При этом одну из сил (F`1), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы Fo (рис. 5.4, б). Тогда система сил Fo и F`1 эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F1 приложенной к точке 01; эта сила и является равнодействующей. Равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е. F1=R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведения О до линии действия равнодействующей можно найти из условия |MOz|=hF1 =hFo, т.е. h=|MOz|/Fo. Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F1, F`1) совпадал с главным моментом MOz (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи: (1) Fo≠0, MOz≠0.В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.(2) Fo≠0, МОz=0. В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через данный центр приведения. (3) Fo=0, MOz≠0. При этом система сил эквивалентна одной паре сил. (4) Fo=0, МОz=0. В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.