- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители …
- •Глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков
- •§2. Декартовы координаты. Полярные координаты
- •§3. Векторы, линейные операции над ними
- •§4. Проекция вектора на ось
- •§5. Разложение вектора по базисным векторам
- •§6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями
- •§7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
- •§8. Направляющие косинусы вектора
- •§9. Скалярное произведение векторов, угол между
- •§10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника
- •§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
- •Глава 2. Элементы аналитической геометрии
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •§2. Плоскость, общее уравнение плоскости
- •§3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •§4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
- •§5. Прямая в пространстве и ее уравнения
- •§6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •§7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности
- •§8. Уравнение линии на плоскости
- •§9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми
- •§10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- •§11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •§12. Кривые второго порядка. Окружность
- •§13. Эллипс
- •§14. Гипербола
- •§15. Парабола
- •§16. Преобразование координат на плоскости
- •§17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве
- •§18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр
- •§19. Эллипсоид
- •§21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды
- •§22. Эллиптический и гиперболический параболоиды
- •Глава 3. Элементы линейной алгебры
- •§1. Определители высших порядков
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Матричный метод решения
- •§5. Формулы Крамера
- •§6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
- •§7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
- •§8. Однородные системы
§1. Действительные числа, числовая ось, определители …
________________________________________________________
Глава 1. Элементы векторной алгебры
§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков
Одним из основных понятий в математике является понятие числа. Оно возникло в глубокой древности в результате счёта и измерений и совершенствовалось. Числа бывают рациональные и иррациональные.
Рациональное – это число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел и . Известно, что рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Примерами иррациональных чисел являются
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел.
Числовая ось – это прямая, на которой выбраны: точка – начальная точка отсчёта, положительное направление (на рис. 1 оно указано ), масштаб для измерения длины. На рис. 1 ось проведена горизонтально, положительное направление выбрано вправо.
Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Если число положительное, то его изображают точкой M для которой расстояние от начала равно а направление от точки до точки совпадает с положительным направлением оси; если число отрицательное, то его изображают точкой для которой расстояние от начала равно , а направление от точки до точки противоположно положительному направлению оси. Число называют координатой точки на оси пишут – координата точки пишут Числовую ось обозначают и называют координатной или осью координат.
Без обоснования: между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу отвечает определённая точка числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси отвечает определённое действительное число, которое изображается этой точкой. В дальнейшем вместо «точка с координатой » будем говорить «точка » и число будем писать рядом с точкой
Абсолютной величиной (модулем) числа называется число, обозначаемое || и равное
||=
Ясно, что абсолютная величина || числа – это расстояние от точки до начала .
Определители второго и третьего порядков. Пусть даны четыре числа Определителем второго порядка называют число где левая часть формулы – обозначение определителя.
Пусть даны девять чисел Определителем третьего порядка называется число, определяемое формулой
Левая часть формулы – обозначение определителя третьего порядка. Числа называются элементами определителя. Будем обозначать их где – номер строки, – номер столбца, к которым принадлежит элемент.
Минором, соответствующим элементу определителя третьего порядка, называется число равное определителю второго порядка, получаемому вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент
Алгебраическим дополнением элемента определителя третьего порядка называют число, определяемое формулой . Это число равно , если чётно, и равно , если нечётно. Из этого определения следует, например,
.
Таким образом, формула определителя третьего порядка примет вид
Можно сделать вывод, что определитель третьего порядка есть сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Легко проверить, что сказанное справедливо для элементов любой строки (любого столбца) определителя, например,