- •Понятие базиса.
- •Проекция вектора на ось.
- •Свойства проекции вектора на ось.
- •Направляющие косинусы.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Геометрические свойства скалярного произведения.
- •Алгебраические свойства скалярного произведения.
- •Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение векторов. Правые и левые тройки векторов и системы координат.
- •Геометрические свойства векторного произведения.
- •Геометрическое построение векторного произведения.
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Приложение смешанного произведения.
Понятие базиса.
Определение. Три линейно независимых вектора , и образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и , т.е. если для вектора найдутся такие вещественные числа , , , что справедливо равенство: =++ (1)
Определение. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора и образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. если для любого лежащего в плоскости вектора найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство : =+ (2)
Утверждения.
1) любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве;
2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.
В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.
Пусть , и - произвольный базис в пространстве (т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов). Тогда равенство =++ называется разложением вектора по базису , , , а числа , , - координаты вектора относительно базиса , , .
Покажем единственность разложения вектора по базису , , . Допустим противное, что наряду с разложением (1), справедливо еще и другое разложение по этому же базису: =++ (3)
Вычитая из (1) из (3) получаем:
(-)+(-)+(-)=0
В силу линейной независимости базисных векторов , , последнее соотношение приводит к равенству: -=0, -=0, -=0 или =, =, =.
Теорема. При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть =1+1+1, =2+2+2. Тогда в силу свойств линейных операций:
+=(1+2)+(1+2)+(1+2),
=(1)+(1)+(1)
В силу единственности разложения по базису ч.т.д.
Проекция вектора на ось.
(Ортогональная) проекция точки на ось – основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную ось. (рисунок)
П
l
Свойства проекции вектора на ось.
-
Проекция суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) проекций векторов на ось
прu()=
-
Постоянный множитель можно выносить за знак проекции:
Угол наклона вектора = к оси u определяется как угол между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора =, а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. (Рисунок)
На величину угла наклона вектора к оси u не влияют выбор точки М выхода указанных лучей и замена оси u любой другой осью v, имеющей то же направление, что и ось u.
Теорема. Проекция вектора на ось u равна произведению длины на косинус угла φ наклона вектора к оси u: .
Доказательство. Обозначим через v ось, проходящую через начало А вектора и имеющую то же направлении, что ось u, и пусть С – проекция В на ось v. Тогда ВАС=, где - угол наклона вектора = к любой из осей u или v, причем точка С лежит в указанной проецирующей плоскости (т.е. в плоскости, перпендикулярной оси u и проходящей через точку В). (Рисунок)
А1В1=АС (А1В1–величина вектора оси u, а АС–величина вектора оси v), т.к. оси u и v параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей заключенные между параллельными плоскостями и , равны. Т.к. по определению , то получаем равенство: =АС (1)
Но величина АС представляет собой проекцию вектора на ось v и
АС== (2)
Сопоставляя 91) и (20, получим ч.т.д.
Аффинные координаты (от лат. affinis – соседний, смежный).
Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точкой О, называемой началом координат.
Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора (относительно базиса , , ). Т.к. каждый вектор может быть единственным образом разложен по базису , , , то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат , , .
Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат, отвечающей тройке взаимно ортогональных единичных базисных векторов.
Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.
Базисные векторы принято обозначать - три взаимно ортогональных единичных вектора.
Любой вектор () можно единственным образом разложить по декартовому базису с коэффициентами ах, ay, az (X,Y,Z):
.
Коэффициенты ах, ay, az называются декартовыми прямоугольными координатами вектора в базисе .
Если М – любая точка пространства, то декартовы координаты этой точки совпадают с декартовыми координатами вектора .
Координатами вектора называют координаты его конечной точки. (на рис. коорд. вектора = на плоскости ={х,у}, в пространстве - ={x,y,z}).
Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz.
(Доказательство на стр. 61)