- •11 Метод Гаусса
- •12 Однородные системы линейных уравнений и их решение
- •16.Скалярное произведение векторов.
- •17. Векторное произведение векторов.
- •60. Дифференциал длины дуги. Кривизна линий.
- •29. Линии второго порядка
- •30. Поверхности второго порядка.
- •Определение и геометрический смысл производной
- •Алгебра производных
- •Особые случаи
- •Теоремы Ферма и Ролля
- •Формулы Коши и Лагранжа
- •Дифференциал
- •Теорема о дифференцируемости функций
- •Правила дифференцирования
- •Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.
- •Остаточный член формулы Тейлора в формуле Пеано
- •Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •Разложение в ряд Тейлора некоторых функций
- •(Проекция суммы равна сумме проекций);
- •(Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).
- •Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
- •2.1 Непрерывность функции
- •2.4 Теоремы о непрерывных функциях
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Прямоугольная таблица, составленная из m x n элементов aij (i = 1,m, j -1,n) некоторого множества, называется матрицей и записывается в виде
Элементы матрицы нумеруются 2 индексами. Первый индекс i элемента aij обозначает номер строки, а второй j — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрицы обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,.. . Если у матрицы m строк и n столбцов, то по определению она имеет размерность m x n. В случае необходимости это обозначается следующим образом:
Аm x n. Матрица называется числовой, если ее элементы aij — числа; функциональной, если aij — функции; векторной, если aij — векторы, и т.д. Матрицы А и В называются равными, если все их соответствующие элементы aij и bij равны, т.е. aij = bij. Следовательно, равными могут быть только матрицы одинаковой размерности. Матрицы, у которых т = п, называются квадратными. Если i -1, то получаем матрицу-строку; если j =1, имеем матрицу-столбец. Их также называют вектор-строкой и вектор-столбцом соответственно.
Перечислим основные операции над матрицами.
1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) матриц А и В, обозначаемой А + В (А — В), называется матрица С, элементы которой Cij == aij =b bij, где aij и bij — соответственно элементы матриц А и В. Например, пусть
Тогда
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А и числа А, обозначаемым А А, называется матрица В той же размерности, элементы которой bij = Аа^, где aij — элементы матрицы А, т. е. при умножении матрицы на число (числа на матрицу) надо все элементы матрицы умножить на это число. Например, пусть
3. Умножение матриц. Произведением матриц Am x n и Bn x p называется матрица
Сm x p = А • В (или проще АВ), элементы которой Cij = ∑nk=1 aikbkj, где aik>bkj — элементы матриц А и В. Отсюда следует, что произведение АВ существует только в случае, когда первый множитель А имеет число столбцов, равное числу строк второго множителя В. Далее, число строк матрицы АВ равно числу строк А, а число столбцов — числу столбцов В. Из существования произведения АВ не следует существование произведения ВА. В случае его существования, как правило, ВА≠АВ. Если АВ — В А, то матрицы А и В называются перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда (АВ)С = А(ВС).
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определителем n-гo порядка называется число ∆n, записываемое в виде квадратной таблицы
и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам aij (i,j = 1, n), которые называются элементами определителя (всего их n2). Индекс i указывает номер строки, aj — номер столбца квадратной таблицы (1.1), на пересечении которых находится элемент aij. Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.
Главной диагональю определителя называется совокупность элементов
a11, a22,… . Минором Mij элемента aij называется определитель (n — l)-гo порядка ∆n-i, полученный из определителя n-гo порядка ∆n вычеркиванием г-й строки и j-гo столбца.
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством
Aij = (-l)i+j Mij
Значение определителя ∆n находится по следующему правилу.
Для n = 2
Для n = 3
Величины A11,A12,A13 — алгебраические дополнения, а M11,M12, M33 — миноры определителя ∆з, соответствующие его элементам a11, a22,a33. Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя ∆з вычеркиванием соответствующих строки и столбца. Например, чтобы найти минор Mi2, следует в определителе ∆з вычеркнуть первую строку и второй столбец. Для произвольного n
где A1k = (-l)1+M1k а миноры M1k, являющиеся определителями (n - l)-гo порядка, получаются из ∆n вычеркиванием первой строки и k−го столбца. Например,
Замечание. Если элементами определителя являются некоторые функции, то данный определитель, вообще говоря, тоже функция (но может быть и числом). Например,
Правило вычисления определителя ∆з равносильно правилу треугольников (правилу Cappюca):
Схематическая запись этого правила приведена ниже:
Например,
Перечислим основные свойства определителей:
1) сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:
Эти равенства можно было бы (как и формулу (1.4)) принять за правило
вычисления определителя. Первое из них называется разложением ∆∏ по элементам %-й строки, а второе — разложением ∆n по элементам j-гo столбца;
2) значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот;
3) если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит знак на противоположный;
4) определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;
5) если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак
определителя. Отсюда следует, что если элементы какого-либо ряда умножить на число λ, то определитель ∆n умножится на это же число λ;
6) если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель также равен нулю;
7) определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;
8) сумма всех произведений элементов какого-либо ряда определителя и алгебраических дополнений соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю, т. е. верны равенства:
9) если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых:
Например,
10) определитель не изменится, если ко всем элементам какого-либо его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число Л. Например, для столбцов определителя это свойство выражается равенством
Рассмотрим основные методы вычисления определителей.
1. Метод эффективного понижения порядка. В соответствии со свойством 4 вычисление определителя n-гo порядка сводится к вычислению n определителей (n - l)-гo порядка. Этот метод понижения порядка не эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисление ∆n ≠ 0 всегда можно свести к вычислению одного определителя (n — l)-гo порядка, сделав в каком-либо ряду ∆n все элементы, кроме одного, равными нулю, покажем это на примере. Пример 1. Вычислить определитель
► ∏о свойству 5 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать полученную строку на 3, 1, 2 и складывать соответственно со второй, третьей и четвертой строками. Тогда, согласно свойству 10, имеем:
∏о свойству 1 определителей (см. второе из равенств (1.6)) полученный определитель молено разложить по элементам второго столбца. Тогда
Получили определитель третьего порядка, который молено вычислить по правилу Cappюca или подобным же приемом свести к вычислению одного определителя второго порядка. Действительно, вычитая из второй и третьей строк данного определителя первую строку, получаем:
2. Приведение определителя к треугольному виду. Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. Очевидно, что в этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали. Приведение любого определителя ∆n к треугольному виду всегда возможно.
Пример 2. Вычислить определитель
► Выполним следующие операции. Пятый столбец определителя сложим с первым, этот же столбец, умноженный на 3, — со вторым, на 2 — с третьим, на 8 — с четвертым столбцом. В итоге получим определитель треугольного вида, который равен исходному:
Приведение определителей к треугольному виду будет использоваться в дальнейшем при решении систем линейных уравнений методом Жopдaнa — Гаусса (его называют также методом Гаусса).
11 Метод Гаусса
2-этапа
1 Прямой ход Гаусса: последовательное исключение неизвестных из систем испозуются 3 преобразования оставляющие систему эквивалентнай
-перестановка местами уравнений
-умножение обеих частей урав. На произвольное число не=0
-прибавление к уравнению другого уравн. Умноженного на произвольное число
2 Обратный ход : находим неизвестные системы.
Если к системе прибавить свободный член то матрица называется расшыренной
Прямой ход Гаусса удобно проводить с расшыренной матрицей, работая только со строками.
Матрица приводится к трапецевидному виду в результате Прямого хода Гаусса
следующие вариант
в последнем ходе уравнения остается одна неизвестная – система имеет одно решение.
в последнем ходе уравнения остается две или более неизвестных – система имеет бесконечное множество решений.
12 Однородные системы линейных уравнений и их решение
Это система во всех уравнениях которых свободные члены равны 0
Всегда совмесна.
Не 0 решения одноредной системы имеет в случае ранг меньше неизвестных решения будет бесконечное множество .нужно выделить фундаментальную систему решений.
Число неизвестных минус ранг=число фундаментальных решений
Так как Однородные системы являются частным случаем то ее можно решать:Метод Гаусса. Метод исследования.
16.Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов наз.произведение их модулей на косинус угла между ними. a*b=/a/*/b/*cos
Свойства:1.a*b=b*a 2.(*a)*b=a*(*b)= *a*b 3.(a+b)*c=a*c+b*c
a*b=x1*x2+y1*y2+z1*z2
доказательство: a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)
a=x1i+y1j+z1k
b=x2i+y2j+z2k
a*b=( x1i+y1j+z1k)*( x2i+y2j+z2k) =x1*x2*i*i+x1y2*i*j+x1*z2*i*k+y1*x2*j*i+y1*y2*j*j+y1*z2*j*k+z1*x2*k*i+z1*y2*k*j+z1*z2*k*k=x1*x2+y1*y2*z1*z2
i*i=/i/*/i/*cos0=1
i*j=/i/*/j/*cosп/2=0
применение скалярного произведения векторов:
1.угол между векторами
2.ортогональность векторов (равенство нулю скаляр.произв.векторов явл. необход. и достаточным условием ортогональности векторов) a*b=0 – условие перпендикулярности
x1x2+y1y2+z1z2=0
3.вычисление проекции вектора
4.скаляргый квадрат вектора
а*а=а- скалярный квадрат
а=а*а=/а//а/cos0=/a/
5.направляющие косинус вектора
6.периодическая работа
17. Векторное произведение векторов.
Тройка векторов a,b,c наз.правой(левой) тогда, когда из конца 3-го вектора кратчайший поворот от 1-го ко 2-му происходит против часовой(по часовой) стрелки.
Векторным произв.двух векторов и наз. вектор удовлетворяющий следующим условиям:
Свойства:
Геометрический смысл модуля векторного произведения:
- модуль векторного произведения
Модуль векторного произведения векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Из определения вектор. произв. следует, что если угол ,то модуль векторного произведения равен нулю.
-условие колинеарности векторов (параллельности)
Вывод: равенство нулю векторного произведения есть необходимое и достаточное условие колинеарности.
Применение векторного произведения:
-
Площадь параллелограмма или треугольника. Эта задача решается на основе геометрического смысла модуля векторного произведения. Для вычисления необходимо вычислить соответственное векторное произведение и найти его модуль. В случае треугольника, его площадь равна половине площади параллелограмма.
-
Момент силы , момент силы F относительно точки О.