- •Раздел 3 элементы аналитической геометрии
- •Глава 5. Координаты точки. Прямая линия
- •5.1. Метод координат. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •5.2. Уравнение линии
- •5.3. Уравнение прямой линии. Исследование уравнения первой степени
- •5.4. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
- •5.5. Различные виды уравнения прямой
- •5.5. Расстояние от точки до прямой
- •Глава 5
- •Глава 6. Кривые второго порядка
- •6.1. Преобразования системы координат
- •6.2. Общий вид уравнения кривой второго порядка. Упрощение уравнения с помощью преобразования системы координат
- •6.3. Иcследование уравнения линии второго порядка
- •Глава 6
-
Раздел 3 элементы аналитической геометрии
Глава 5. Координаты точки. Прямая линия
5.1. Метод координат. Простейшие задачи аналитической геометрии
В основе аналитической геометрии лежит метод координат, впервые систематически примененный французским математиком и философом Декартом. Простейшая и наиболее употребительная система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные оси с заданными единичными отрезками для измерения длин. Точка пересечения осей называется началом координат (обозначается буквой O), сами оси – координатными осями, горизонтальная ось называется осью абсцисс (обозначается Ox), вертикальная – осью ординат (обозначается Oy). Пусть М – произвольная точка плоскости. Проведем через эту точку перпендикуляры к прямым Ox и Oy; основания перпендикуляров обозначим Mx и My (рис. 5.1). Координатами точки М в заданной системе называются числа x = Mx, y = My. Вставка рис. 5.1
Каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел ; каждой паре чисел соответствует точка плоскости. Любая геометрическая задача благодаря этому может быть сведена к задаче алгебраической, при этом сохраняется наглядность благодаря геометрическим построениям..
Рассмотрим две простейшие задачи аналитической геометрии.
Задача 1. Даны две точки и (рис. 5.2). Найдем расстояние между ними.
Из точек М и N опустим перпендикуляры , , и на оси координат. Здесь , , , . Проведем отрезок МК, параллельный оси Ох.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK. По теореме Пифагора имеем
.
Выразим отрезки МК и NK через координаты данных точек.
Следовательно,
,
или
. |
(5.1) |
Пример 5.1. Даны точки , . Найти расстояние АВ.
Используя (5.1), получаем
.
Задача 2. Даны две точки и , являющиеся концами отрезка, и число λ. Требуется найти координаты точки S, такой, что
,
т.е. разделить отрезок в данном отношении λ (рис. 5.3).
Обозначим через координаты точки S. Из точек N, S и М опустим перпендикуляры на оси Ох и Оy.
Проведем отрезок МL параллельный оси Ох. Он пересекается с отрезком в точке К. Рассмотрим угол . Параллельные прямые SK и NL отсекают на нем пропорциональные отрезки. Следовательно,
. |
(5.2) |
Выразим отрезки МК и KL через координаты точек:
Подставляя в равенство (5.2) выражения МК и KL, получаем
или
Откуда
. |
(5.3) |
Аналогично доказывается, что
. |
(5.4) |
Рассмотрим частный случай – деление отрезка пополам, т.е. требуется найти точку S, такую, что MS = NS. В этом случае
.
Подставляя в (5.3), (5.4), получаем искомые формулы
-
.
(5.5)
Пример 5.2. Дан треугольник с вершинами , , . Найти координаты точки P – центра тяжести треугольника. Известно, что в точке P пересекаются медианы (рис. 5.4). Поэтому проведем
медиану AD, где точка D – середина отрезка ВС. По формулам (5.5) находим ее координаты.
,
т.е. D(5; –1).
Рассмотрим отрезок AD. Точка P, по свойству медианы, делит его так, что
.
Найдем координаты точки Р:
.
Точка Р имеет координаты .