- •Конспект лекцій
- •Приклад рішення лінійного програмування задачі симплекс – методом
- •Система обмежень має два одиничних вектори - а4 та а5 . Вони створюють базис.
- •2.1.3. Приклад рішення задачі симплекс – методом з штучним базисом
- •Система обмежень має два одиничних вектори - а3 та а4 . Для того, щоб отримати базис вводимо штучну змінну а5. Система прийме вигляд:
- •2.1.4.Приклад побудова двоїстої задачі та знаходження її рішення по рішенню вихідної задачі лінійного програмування симплекс – методом
- •Система обмежень має три одиничних вектори - а4, а5 та а4 . Вони створюють базис.
- •2.1.5.Приклад рішення транспортної задачі методом потенціалів
- •Вартість перевезень (цільова функція буде дорівнювати :
- •3.2.Метод перебору комбінацій простих ризиків
- •3.2.1.Приклади рішення.
- •3.3. Прийняття рішень в конфліктних ситуаціях
- •Перший варіант платіжної матриці
- •Другий варіант платіжної матриці
- •Тема1. «Математичне моделювання як метод наукового пізнання
- •Математичне моделювання в економіці.
- •2. Розвиток економетрії як науки
- •3. Економетричні моделі та етапи їх побудови
- •Тема1.2 «Парний регресійний аналіз». План
- •Сутність регресійного аналізу.
- •2.Оцінка параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів (мнк). Властивості мнк- оцінок.
- •3.Коефіцієнти кореляції та детермінації.
- •4.Перевірка моделі на адекватність за критерієм Фішера.
- •Тема1.3: «Множинний регресійний аналіз». План
- •1.Приклади багатофакторний економетричних моделей.
- •2.Загальна лінійна модель множинної регресії.
- •3.Метод найменших квадратів, основні припущення. Мнк-оцінки параметрів лінійної регресії.
- •Література
Конспект лекцій
2. Постановка загальної задачі лінійного програмування та приклади рішення задач.
Серед різних математичних моделей економічних процесі особливе місце займають лінійні оптимізаційні моделі. Математична модель загальної задачі лінійного програмуванню формулюється наступним чином: знайти сукупність значень n змінних x1, x2,….,xn , які задовольняють системі обмежень:
A1,1x1 + A1,1x1 + … + A1,1x1 = b1
A2,1x1 + A2,1x1 + … + A2,1x1 = b2
…………………………………
Am,1x1 + Am1x1 + … + Am,1x1 = bm
та умові невід’ємності, x1 0, x2 0, …, xn 0, для яких лінійна функція мети
Z = c1x1 + c1x1 + … + c1x1
досягає екстремуму (мінімуму або максимуму).
Вектор (упорядкована послідовність чисел Х ( x1, x2,….,xn ), координати якого задовольняють обмеженням та умові невід’ємності, має назву допустимого рішення. Допустиме рішення Х ( x1, x2,….,xn ) для якої функція мети досягає екстремуму має назву оптимального рішення.
Знаходження оптимального плану (рішення) задачі лінійного програмування проводиться за допомогою симплекс-методу в одній з його форм відповідно до особливостей конкретної задачі, які можуть мати власну назву. В дійсному курсі математичного програмування розглядається симплексний метод в двох формах - без штучного базису та з штучним базисом, графічний метод (яку можна розглядати як графічна форма симплексного методу) транспортна задача та двоїсту задачу лінійного програмування яка є засобом поглибленого аналізу оптимального рішення, який знаходиться за допомогою методів, перерахованих вище.
Приклад рішення лінійного програмування задачі симплекс – методом
Умова:
Z = 9x1 + 4x2 + 1 x3 (max)
1x1 + 2x2 + 1 x3 36
6x1 + 1x2 + 2x2 60
xj 0
Приводимо систему обмежень до канонічного виду. Для цього в перше та друге обмеження вводяться доповнюючи змінні x4 , та x5. Задача прийме такий вигляд:
Z = 9x1 + 4x2 + 1 x3 (max)
1x1 + 2x2 + 1 x3 + 1 x3 = 36
6x1 + 1x2 + 2x2 + 1 x3 = 60
xj 0
Система обмежень має два одиничних вектори - а4 та а5 . Вони створюють базис.
Можемо записати симплексну таблицю і знайти оптимальне рішення.
Базис |
Сi базис |
План А0 |
9 |
4 |
1 |
0 |
0 |
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
||||
А4 |
0 |
36 |
1 |
2 |
1 |
1 |
0 |
36/1 |
А5 |
0 |
60 |
6 |
1 |
2 |
0 |
1 |
60/6 |
Zj - Cj |
0 |
-9 |
-4 |
-1 |
0 |
0 |
|
|
А4 |
0 |
156/6 |
0 |
11/6 |
4/6 |
1 |
-1/6 |
156/11 |
А1 |
9 |
10 |
1 |
1/6 |
2/6 |
0 |
1/6 |
54 |
Zj - Cj |
90 |
0 |
-15/6 |
2 |
0 |
9/6 |
|
|
А2 |
4 |
156/11 |
0 |
1 |
4/11 |
6/11 |
-1/11 |
|
А1 |
9 |
46/11 |
1 |
0 |
3/11 |
-1/11 |
2/11 |
|
Zj - Cj |
1040/11 |
0 |
0 |
32/11 |
15/11 |
14/11 |
|
Оскільки всі Zj - Cj 0 ми знайшли оптимальний план, який надає мінімального значення цільовій функції. Оптимальній план має вигляд:
Хопт( х1 = 46/11,.х2 = 156/11,.х3 = 0,.х4 = 0,.х5 = 0.), Zmin= 1040/11