- •Частный институт управления и предпринимательства
- •Определенный интеграл Минск 2007
- •М 54 Высшая математика. Определенный интеграл: учеб.-метод. Посо-бие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 29 с.
- •Ключевые понятия
- •Понятие определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3. Основные свойства определенного интеграла
- •4. Формула Ньютона–Лейбница
- •5. Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Доказательство
- •Задачи и упражнения Определенный интеграл
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Задачи и упражнения Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
- •Литература
- •Ответы к задачам и упражнениям Определенный интеграл
- •Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
- •Содержание
- •Метельский Василий Михайлович высшая математика Определенный интеграл
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского 1, корп. 3.
Частный институт управления и предпринимательства
В. М. Метельский
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Определенный интеграл Минск 2007
Частный институт управления и предпринимательства
В. М. Метельский
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Определенный интеграл
Учебно-методическое пособие
Минск 2007
УДК 51(075.8):33
ББК 22.1я73
М 54
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства
А в т о р
доцент кафедры высшей математики и статистики
Частного института управления и предпринимательства
кандидат физико-математических наук В. М. Метельский
Р е ц е н з е н т ы:
профессор кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета доктор физико-математических наук, профессор Н. С. Коваленко;
доцент кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета кандидат физико-математических наук, доцент Т. И. Чепелева
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики,
протокол № 10 от 11.05.2007 г.
Метельский, В. М.
М 54 Высшая математика. Определенный интеграл: учеб.-метод. Посо-бие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 29 с.
Пособие подготовлено в соответствии с учебной программой ЧИУиП по дисциплине «Высшая математика», стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно включает лекции, задачи, упражнения и индивидуальные задания по теме «Определенный интеграл».
Для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51(075.8):33
ББК 22.1я73
Метельский В. М., 2007
Частный институт управления и предпринимательства, 2007
Лекция 1. оПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ
План
-
Понятие определенного интеграла.
-
Геометрический смысл определенного интеграла.
-
Основные свойства определенного интеграла.
-
Формула Ньютона–Лейбница.
-
Замена переменной в определенном интеграле.
6. Интегрирование по частям.
Ключевые понятия
Интегральная сумма. Определенный интеграл. Пределы интегрирования. Интегрируемая функция. Криволинейная трапеция. Формула Ньютона–Лейбница. Теорема о среднем.
-
Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:
-
разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;
-
в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;
-
найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;
-
составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;
-
найдем предел интегральной суммы, когда .
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .
Таким образом, .
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтег-ральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.