- •1. Предел последовательности
- •Основные способы вычисления пределов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Предел последовательности
- •2. Предел функции Определение предела функции в точке по Коши
- •Предел функции в бесконечности
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Непрерывность функции в точке
- •4. Производная функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Производная функции
- •5. Правило лопиталя. Дифференциал функции Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •Дифференциал функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Правило Лопиталя. Дифференциал функции
- •6. Исследование функций
- •Общая схема построения графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Функции нескольких переменных
- •8. НеоПределенный иНтеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования а. Непосредственное интегрирование
- •Б. Метод замены переменной (подстановки)
- •В. Метод интегрирования по частям
- •Г. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Д. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Е. Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Неопределенный интеграл
- •9. ОПределенный иНтеграл
Частный институт управления и предпринимательства
Ю. В. Минченков
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Сборник задач
по математическому анализу
Учебно-методическое пособие
Минск 2008
УДК 51
ББК 22.1я73
М 62
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства
А в т о р
заведующий кафедрой высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Минченков
Р е ц е н з е н т ы:
доцент кафедры высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Егоров;
доцент кафедры высшей математики и информатики Государственного института управления и социальных технологий БГУ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Н. Рачковский
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики, протокол № 2 от 19 сентября 2008 г.
Минченков, Ю. В.
М 62 Высшая математика. Сборник задач по математическому анализу: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Минченков.– Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2008.– 83 с.
ISBN 978-985-6877-23-3.
Приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения задач. Сборник содержит типовые задачи по математическому анализу с решениями и пояснениями.
Предназначен для самостоятельной работы студентов Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51
ББК 22.1я73
© Минченков Ю. В., 2008
ISBN 978-985-6877-23-3 © Частный институт управления и предпринимательства, 2008
1. Предел последовательности
Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется функция
(1)
определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение называют элементом (или членом) последовательности, а число п – номером элемента последовательности. Заметим, что последовательность всегда содержит бесконечное число членов.
Число а называется пределом числовой последовательности при , если для любого положительного сколько угодно малого числа существует номер , такой, что для всех выполняется неравенство
. (2)
Обозначается .
Математически данное определение можно записать в виде:
.
Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется рас-ходящейся. Если , то говорят, что последовательность сходится к бесконечности.
Пример 1. Доказать, что число является пределом последовательности . Найти, сколько элементов данной последовательности не попало в -окрестность числа , если .
Решение. Из неравенства (2) следует
Таким образом, (целая часть числа, так как – это номер элемента). Следовательно, при , т. е. число является пределом данной числовой последовательности.
Пусть Следовательно, ровно 1999 элементов находится за пределами интервала .
,
.
Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью (б.б.п.), если .
Числовая последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если .
Основные способы вычисления пределов
При вычислении пределов следует помнить, что .
Пример 2. = (делим числитель и знаменатель на наивысшую степень п, в данном случае на ) =
.
Пример 3.
.
Пример 4.
Пример 5
.
Пример 6
.
Анализируя примеры 2–6, можно сделать вывод, что когда мы имеем неопределенность , предел равен:
-
отношению коэффициентов при старших степенях n, если степени n числителя и знаменателя равны;
-
0, если наивысшая степень n числителя меньше наивысшей степени n знаменателя;
-
, если наивысшая степень n числителя больше наивысшей степени n знаменателя.
Пример 7
(делим числитель и знаменатель на п)
.
Вторым замечательным пределом будем называть предел:
, (3)
где – иррациональное число.
Заметим, что данный предел представляет собой неопределенность вида Он широко используется при вычислении других пределов. Рассмотрим примеры.
Пример 8. , так как . Заметим, что если предел имеет вид, подобный виду (3), то он равен е (произведение второго слагаемого на степень равно 1).
Пример 9
Пример 10
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Предел последовательности
1. Доказать, что число а является пределом последовательности . Найти, сколько элементов данной последовательности не попало в -окрест-ность числа а:
а) ;
б)
в)
г)
д)
2. Найти пределы:
а) б) в)
г) ; д) е)
ж) з); и)
к) ; л) ;
м) .
3. Найти пределы:
а) б)
в) г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
4. Найти пределы, используя второй замечательный предел:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ;
и); к).