Колебания и волны
Гармонические колебания.
Гармоническими называются колебания, в которых величина х изменяется по закону
, (1)
где а – амплитуда, - фаза, - начальная фаза, o - циклическая частота, o=2 . Период колебаний T , а также частоты ν и 0 связаны:
. (2)
Обратите внимание! Циклическая и обычная частоты имеют разные наименования единиц измерения: [] = c-1, []=Гц.
Продифференцировав (1) по времени, найдем скорость и ускорение
; ) (3)
Графики на рис.1 показывают, что х и находятся в противофазе, а скорость опережает смещение х на .
NB! Наиболее часто встречающее заблуждение учащихся состоит в том, что они думают, что на рис.1 изображена траектория. НЕТ! Это графики! Зависимости х (и производных) от времени! Притом при нулевой начальной фазе и одинаковых по масштабу амплитудах! Движение одномерное! Поэтому траектория – набор отрезков вдоль вертикальной оси х.
Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Выражения для смещения х и ускорения отличаются только коэффициентом при cos (…). Поэтому =, или
(4)
Это и есть дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Функция (1) - общее решение этого уравнения. Оно содержит две произвольные константы а и . Их можно найти из начальных условий, например, если даны смещение и скорость в начальный момент t=0:
; .
Что же такое гармонический осциллятор? Ответ очевиден: кто меняет свою единственную координату по уравнению (1) или (4) – тот и есть гармонический осциллятор. Простейшими примерами гармонических осцилляторов являются грузик на пружинке, математический маятник, физический маятник. И пример для гурманов – вертикальные колебания льдины на воде. Попробуйте понять, что между этими примерами общего.
Грузик на пружине (пружинный маятник). Пусть грузик массы m подвешен на невесомой пружине жесткостью k. Смещение х будем отсчитывать от положения равновесия (рис.2). В состоянии равновесия пружина растянута под действием силы тяжести mg груза настолько, чтобы сила упругости была в точности равна -mg. Поскольку эти постоянные силы равны и противоположно направлены, они в сумме всегда равны нулю. В процессе колебаний сила упругости будет состоять из двух частей: (1) постоянной составляющей равной mg и (2) переменной составляющей равной kx. Таким образом, в записи второго закона Ньютона для грузика можно не учитывать силу тяжести mg и постоянную составляющую силы упругости (равную -mg) . Тогда произведение массы на ускорение равно переменной составляющей силы упругости
. (5)
Редкий ученик понимает, почему справа минус. Возьмите пружинку (хоть из авторучки) и попробуйте её растянуть и сжать. Что Вы заметили? Когда пружину сжимают, она стремится распрямиться (смещение вверх, сила упругости вниз), а когда растягивают, она стремится сжаться (смещение вниз, сила упругости вверх). Таким образом, знаки смещения x и силы kx всегда противоположны, поэтому и минус. Теперь перенесем - kx влево и разделим уравнение (5) на m
.
Правда, похоже на (4)? Чтобы сходство стало полным, обозначим . Тогда мы получим , т.е. дифференциальное уравнение гармонического осциллятора (ГО).
Мораль: коэффициент при x в дифференциальном уравнении гармонического осциллятора равен квадрату циклической частоты этого осциллятора. Если конечно Вы не забыли все уравнение предварительно разделить на коэффициент при ! А чему же равно x? Раз получено уравнение, идентичное дифференциальному уравнению (4), (1) - его общее решение.
Пора спросить: а все ли знают, что точка над x обозначает первую производную по времени от x? Теперь догадайтесь, что означают две точки над x. И начинайте читать все сначала.
Из равенства следует, что циклическая частота пружинного маятника, зависит от жесткости пружины и массы груза: чем жестче пружина – тем больше частота, чем больше масса груза, тем меньше частота. С периодом все наоборот:
; . (6)
Пример из министерского тестирования: во сколько раз увеличится период колебаний пружинного маятника, если его массу и жесткость пружины увеличить в 2 раза? Ответ: не изменится. А если массу увеличить в 8 раз, а жесткость пружины увеличить в 2 раза? Ответ: в два раза. И так далее.
Физический маятник. Это твердое тело, совершающее малые колебания относительно неподвижной оси О, перпендикулярной листу (рис. 3). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось вращения О
(7)
(слева произведение момента инерции I на угловое ускорение, справа – момент силы тяжести). Чтобы понять, откуда справа минус, вспомним, куда направлены угловое ускорение и момент силы mg. Правильно, оба вектора вдоль оси вращения. А почему всегда в разные стороны? Спрошу на экзамене! Разделим обе части на I; учтем, что для малых углов ; перенесем все в левую часть, обозначим и получим опять дифференциальное уравнение гармонического осциллятора
, (8)
Только роль смещения вместо x выполняет угол φ. Решение уравнения (8) также совпадает с формулой (1) с точностью до обозначений: , где для разнообразия амплитуда обозначена φ0. Циклическая частота и период колебаний физического маятника равны
; . (9)
Такую же частоту и период имеет математический маятник длины lпр=, которую называют приведенной длиной физического маятника.
Математический маятник - это частица массы m, совершающая малые колебания на нити длиной l (в плоскости листа - на рис.4). Основное уравнение динамики вращательного движения будет отличаться только тем, что момент инерции частицы известен (), ; Откуда минус? Да оттуда же! Теперь разделим обе части на ml2; учтем, что для малых углов ; перенесем все в левую часть и получим что? Опять дифференциальное уравнение гармонического осциллятора (8), где на этот раз , циклическая частота и период колебаний математического маятника равны
; . (10)
Похоже на выражения (6 и 9), но есть и различие: период (и обе частоты) математического маятника не зависят от его массы! А зависят только от g! Отсюда простейший способ измерения ускорения свободного падения g. Берем нить известной длины с грузиком и измеряем период его колебаний. Подставляем в (8) и находим g.
Пример из министерского тестирования: во сколько раз увеличится период колебаний математического маятника, если его массу увеличить в 2 раза и длину нити увеличить в 2 раза? Ответ: в . А если массу увеличить в 8 раз, а длину нити увеличить в 4 раза? Ответ: в 2 раза. И масса в обоих случаях не при чем!
Мораль. Свободные колебания любого осциллятора без трения будут гармоническими, если действующая сила направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению от положения равновесия. В примере со льдиной именно так и получается: при вертикальных колебаниях меняется погруженная в воду часть льдины, а и сила Архимеда пропорциональная глубине погружения.
Сложение гармонических колебаний одного направления. Можно условно изображать колебания с помощью вектора амплитуды , вращающегося с угловой скоростью против часовой стрелки, так как проекции этого вектора изменяются по гармоническому закону. Действительно, угол вектора с осью х в момент времени t равен , а его проекция на ось х равна аcos. Проекция вектора суммы двух векторов равна сумме однонаправленных гармонических колебаний. Такой способ называется векторной диаграммой. Мы рассмотрим два случая: 1- когда частоты складываемых колебаний равны, 2 - когда они мало отличаются.
NB! Термины “мало- много” требуют обязательного уточнения: по сравнению с чем? Всем известно, что три волоса на голове – это мало, а в тарелке – много! В нашем случае (колебаний, а не волос) уточнение состоит в том, что разность складываемых частот много меньше каждой из них. Обязательно обращайте внимание на уточнение! Оно неизбежно будет использовано при выкладках. Так, мы недавно использовали (дважды!) термин малые колебания. А уточнение состояло в том, что для них .
1 Пусть складываются гармонические колебания х1 и х2 с одинаковой частотой . Тогда результирующее смещение равно
x= х1 + х2 = а1 cos+ а2 cos=.
Изобразим колебания векторами и , которые в начальный момент составляют с осью х углы 1 и 2 соответственно (рис.5). Амплитуду а и начальную фазу результирующего колебания можно найти, как видно из рисунка, из соотношений
(11)
(12)
Из формулы (11) видно, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от разности фаз . При сложении синхфазных колебаний (т.е. таких, что =0) результирующая амплитуда максимальна, а при сложении колебаний в противофазе - минимальна:
; .
2 Пусть и 2. Это значит, частоты мало отличаются! В этом случае справедлив рис.5. Но теперь векторы и вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями, модуль результирующего вектора будет медленно (почему?,- спрошу!) изменяться от до , причем сам вектор вращается с угловой скоростью, близкой к и 2. Строго говоря, результирующее колебание не является гармоническим. Его можно рассматривать, как почти гармоническое, но с медленно периодически изменяющейся амплитудой (рис.6). Такие колебания называются биениями. Результирующая амплитуда также может быть выражена формулой (11), но теперь разность фаз следует заменить выражением = - = + .
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть складываются гармонические колебания х и y с одинаковой частотой
и . (13)
Поскольку cos любого угла можно записать, как sin дополнительного (до 900) угла, то выражение для y можно представить как , где +=900. Перепишем выражения (13) в виде
; (14)
Если возвести оба уравнения в квадрат, расписать синус суммы, сложить уравнения и учесть что sin2…+ cos2… =1, то можно исключить время. Так получим уравнение уравнение траектории - эллипс (рис.7). Обязательно получите самостоятельно! По этой эллиптической траектории точка будет вращаться с частотой . Рассмотрим частные случаи.
а) =0. Тогда . Эллипс вырождается в наклонный отрезок в первом и третьем квадрантах (рис.8а). Точка будет гармонически колебаться вдоль этого отрезка с частотой .
б) =. Тогда . Тоже отрезок, только во втором и четвертом квадрантах (рис.8 б).
в) =/2. Тогда получим , частица движется по эллипсу, полуоси которого совпадают с осями координат (рис.8 в). Так как колебание y опережает колебания х на /2 (см. формулы (14)!), то y достигает max раньше, чем х, - поэтому вращение происходит по часовой стрелке.
г) =3/2=(-/2); наоборот: колебание х опережает колебания y на /2, тоже вращение по эллипсу, только против часовой стрелки (рис.8 г).
2. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются в целое число раз, то траектория результирующего колебания представляет собой довольно сложную кривую. Эти кривые называются фигурами Лиссажу.
Затухающие колебания.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. В реальной колебательной системе всегда есть силы типа трения, которые приводят к уменьшению амплитуды (и энергии) колебаний. Тогда свободные колебания называются затухающими. Пусть на частицу массы m кроме квазиупругой силы (-kx) действует сила сопротивления, пропорциональная скорости . Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид . Перенесем все в левую часть, разделим на m и введем обозначения: ; ; после чего получим
. (15)
Циклическую частоту 0 называют собственной частотой, - коэффициентом затухания. Уравнение (15) - это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение
, (16)
где а0 и - произвольные константы, которые можно найти из начальных условий; Частота затухающих колебаний , а зависит от :
. (17)
С
Рис.9
Время релаксации – это время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Так как меньше ао в е раз, то , -1=-, .
Логарифмический декремент затухания – это логарифм отношения двух последовательных амплитуд
.
Подставляя в =1/, получим =Т/ , - величина, обратная такому числу колебаний, за которое амплитуда уменьшится в е раз!
Вынужденные колебания.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Вынужденные колебания можно получить, если к перечисленным выше силам (квазиупругой = - kx и трения=) добавить внешнюю силу, например, периодическую F=F0cost. Тогда по второму закону Ньютона
или
, (18)
где ; ; . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) состоит из суммы общего решения однородного уравнения (15) и частного решения неоднородного (18). Общее решение однородного ДУ, как мы видели, затухает со временем. Поэтому остается только частное решение (соответствующее установившимся колебаниям), которое показывает, что в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающие от нее по фазе на некоторое φ
. (19)
Если дважды продифференцировать (последний раз предупреждаю, что это значит – два раза взять производную!) уравнение (18), нарисовать векторную диаграмму с учетом сдвига фаз, то можно найти а и φ
, (20)
Резонанс. Первая из формул (20) показывает зависимость амплитуды а от частоты вынуждающей силы (рис.10). При =0, а=, а максимум амплитуды соответствует условию . Но еще проще найти минимум только для выражения под корнем, приравняв нулю производную от него. Соответствующая частота рез называется резонансной
рез=, (21)
а само явление достижения максимальной амплитуды называется резонансом. Подставляя в первую из формул (20) резонансную частоту (21), получим максимальную амплитуду
. (22)
Из (22) и рис.10 видно, что чем меньше затухание в системе, тем ярче выражен резонанс. Резонанс используют, если нужно усилить колебания, и, наоборот избегают, если он может привести к нежелательному усилению колебаний.
Упругие волны
Уравнение волны. Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде. При этом сами частицы среды испытывают только колебания около своих положений равновесия. Если колебания частиц происходят вдоль направления распространения, то волна называется продольной, а если перпендикулярно – поперечной.
Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль длинного натянутого шнура, который совместим с осью х. В качестве возмущения рассмотрим - смещение элементов шнура из положения равновесия как функцию координаты и времени =f(x,t). Пусть возмущение распространяется в положительном направлении оси х со скоростью =. Тогда в точку с координатой х возмущение придет с опозданием на время . Итого в момент t в точке х возмущение будет равно
(x,t)=f(t-x/) .
Если волна распространяется в отрицательном направлении оси х, то в скобках будет плюс. Выражение в рамочке – это уравнение волны в общем виде. В частности, уравнение плоской гармонической волны имеет вид
(x,t)=аcos(t-x/)= аcos(t-x/). (23)
а – амплитуда волны, - циклическая частота колебаний частиц среды. Функция (23) периодична с периодом 2 и по времени и по координате! Поэтому период равен
. (24)
Длиной волны называется расстояние, проходимое за один период колебаний
=T=, (25)
Введем волновое число k ==. Тогда уравнение плоской гармонической волны примет симметричный вид
(x,t)=аcos(t-kx). (26)
Легко показать, что - это фазовая скорость (т.е. скорость распространения вдоль ох некоторой зафиксированной фазы). Действительно, зафиксируем фазу в (23): пусть t-x/=const. , что и требовалось доказать.
Если волна распространяется в поглощающей среде, то ее амплитуда а будет уменьшаться экспоненциально (из опыта), тогда уравнение волны будет иметь вид
(27)
В плоской волне волновые поверхности (т.е. геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей, (в нашем случае плоскости оси х). Если волновые поверхности - сферы, то волна называется сферической. Фронтом волны называется волновая поверхность, отделяющая область волнового процесса от невозмущенной части среды.
Волновое уравнение. Пусть дано уравнение волны (x,t)=f(t-x/), обозначим фазу φ=(t-x/) и вычислим частные производные по времени и по координате:
; ,
; (28)
; (29)
Сравнивая (28) и (29), получим
(30)
Дифференциальное уравнение (30) является одномерным волновым уравнением, в котором - фазовая скорость. Таким образом,
NB! в стандартной записи волнового уравнения коэффициент при второй производной по времени – величина обратная квадрату скорости распространения волны.
Упругая волна в тонком стержне. Это простейший пример распространения волн в упругой среде. При малых продольных деформациях имеет место закон Гука: , где - напряжение (Н/м2), относительная деформация, Е – модуль Юнга (Па). Рассмотрим элемент стержня х в момент, когда он оказался в растянутом состоянии. По второму закону Ньютона для этого элемента
xS=F(x+x)+F(x), (31)
где - плотность, S – площадь поперечного сечения стержня. Справа стоит алгебраическая сумма сил, действующих на выделенный элемент. Так как элемент находится в растянутом состоянии, то F(x+x) >0, F(x)<0, поэтому
F(x+x)+F(x)= S(x+x) - S(x)=, (32)
где учтено, что сила и напряжение слева от х имеют разные знаки (см. рис.11)! Это связано с тем, что в законе Гука и должны иметь знаки одинаковые, а у нас – растяжение, >0, >0! Подставим (32) в (31) и сократим на Sx; подставим из закона Гука и получим
, (33)
т.е. волновое уравнение, коэффициент при позволяет выразить фазовую скорость упругой продольной волны:
(34)
В упругой среде можно возбудить и поперечные волны, тогда скорость будет выражаться через модуль сдвига G среды
.
Упругая волна в гибком шнуре. Рассмотрим малые поперечные колебания шнура. Пусть на малый элемент шнура (рис.12) слева и справа действуют силы Fл и Fпр. Вертикальные проекции этих сил равны: слева; справа , т.к. при малых поперечных колебаниях угол α мал. Алгебраическая сумма этих сил ≈ дифференциалу выражения , т.е. ≈. Введем линейную плотность шнура (масса единицы длины) , тогда второй закон Ньютона для выделенного элемента струны будет иметь вид dx=F dx, или
. (35)
Это вновь волновое уравнение, где множитель при второй производной от смещения по времени определяет фазовую скорость волны
(36)
Упругая волна в жидкостях и газах . Вывод волнового уравнения (33), полученного для тонкого стержня, можно повторить для жидкости или газа, выделив мысленно в этих средах тонкий цилиндрический канал в направлении распространения плоской волны. Необходимо только выяснить, что в этом случае играет роль модуля Юнга. При продольных волнах в среде в них возникают сжатия и разряжения отдельных слоев и закон Гука выражает связь избыточного давления с относительным изменением длины выделенного элемента . Причем, если р>0, давление на выделенный элемент увеличивается, он сжимается, <0, т.е. приращения давления р и длины противоположны по знаку:
.
Умножив числитель и знаменатель в правой части на площадь поперечного сечения канала, получим
, , . (37)
Поскольку масса выделенного элемента не меняется, V=const, (- плотность) dV+dV=0, или d/ =- dV/V. Тогда , что после подстановки в (34) позволяет получить выражение для скорости продольных волн в жидкой или газовой среде
. (38)
В частности, в газе процесс распространения звуковых волн (упругие продольные волны в звуковом диапазоне частот) можно считать адиабатическим: pV=const. Дифференциал логарифма этого выражения равен нулю: , (37), , скорость звуковой волны в газе равна , что с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона можно
преобразовать к виду . Последняя формула является менее общей по сравнению с (38), однако очень удобна для оценки скорости звука в различных газах. (Кто-то еще помнит, что и называется показателем адиабаты? Не побоюсь спросить: а что такое i ?)
Энергия упругой волны. К закрепленной с одного конца струне (стержню) приложим с другой стороны растягивающую силу, которая по закону Гука в пределах упругой деформации должна изменяться пропорционально смещению: F=x, где - коэффициент упругости. Для нахождения работы этой силы необходимо проинтегрировать выражение Fdx=xdx в пределах от 0 до х. Поэтому работа равна А=. Эта работа идет на увеличение упругой энергии стержня, потенциальная энергия растянутого на х стержня (струны) равна
U= . (40)
NB! Потенциальная энергия растянутого (сжатого) стержня- это энергия упругой деформации!
Так как в законе Гука ( ) в данном случае =; =, ,
.
Поскольку Sl – объем стержня длины l, то плотность потенциальной энергии (энергия единицы объема) равна
. (41)
При прохождении продольной волны каждая единица его объема обладает еще и кинетической энергией, плотность которой, очевидно, равна половине произведения плотности на квадрат скорости удлинения, поэтому плотность полной энергии равна сумме
. (42)
Выразим модуль Юнга через скорость из (34)(42), тогда
. (43)
Продифференцировав уравнение волны (23) по времени и по координате, легко (?!) убедиться, что оба слагаемых равны друг другу,
NB! Плотности кинетической и упругой (потенциальной) энергии в этой волне одинаковы и изменяются синхфазно!
В частности, плотность энергии волны можно выразить как . Тогда для гармонической волны (x,t)=аcos(t-kx) плотность энергии равна
w=а22 sin2 (t-kx) . (44)
Среднее значение плотности энергии за период (или за t>>T) равно
(45)
поскольку среднее значение квадрата синуса за период равно ½. Полученное выражение справедливо также и для упругих волн в жидкостях и газах.
Плотность потока энергии. Вектор Умова. Потоком энергии Ф называется количество энергии переносимое волной через поверхность S в единицу времени . Поток энергии в разных точках поверхности S может быть разным. Чтобы более детально охарактеризовать это обстоятельство вводят понятие плотности потока энергии: это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии: . Если φ – угол между нормалью к dS и направлением переноса энергии (совпадающим с), то
энергию dW(=wdV), переносимую через dS за время dt можно выразить через скорость и w:
dW= w dt dScosφ, , . И поскольку направление совпадает с направлением переноса энергии, то аналогично можно записать и вектор плотности потока энергии (вектор Умова):
. (46)
Из выражения (46) видно, что величина вектора плотности потока энергии пропорциональна w, среднее по времени значение которой определяется формулой (45), поэтому и среднее значение вектора
. (47)
Интенсивность волны – это I=, т.е. модуль среднего по времени вектора плотности потока энергии –средний модуль вектора Умова.
NB! Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты волны.
Связь между вектором и полным потоком Ф через произвольную поверхность S очевидна
. (48)
Стоячие волны. Опыт показывает, что при одновременном прохождении в среде нескольких волн колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. В этом состоит принцип суперпозиции (наложения) волн. Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны 1 и 2 с одинаковыми частотами и амплитудами распространяются в противоположных направлениях оси х:
; ;
где для простоты начальные фазы выбраны равными нулю. Суперпозиция этих волн дает
, (49)
-это и есть уравнение стоячей волны. Если рассматривать |2аcoskx| как амплитуду, то выражение (49) представляет собой колебание с частотой и амплитудой, зависящей от координаты (рис.13). Такое явление называется стоячая волна (в отличие от ранее рассмотренных – бегущих волн). В точках, где 1 находятся максимумы, которые для стоячей волны называются пучностями; а при =0 – узлы. Период функции , поэтому интервал между соседними узлами или пучностями равен половине длины волны /2. Между двумя соседними узлами все точки колеблются синхфазно, но при переходе через узел фаза меняется на , поэтому колебания по разные стороны от узла происходят в противофазе. Таким образом, узлы делят среду на независимые области длиной /2, в которых происходят независимые и никуда не распространяющиеся колебания. Никакой передачи энергии через узлы не происходит, нет распространения возмущения вдоль оси х. Стоячие волны в большей степени являются колебаниями, чем собственно волнами.
Продифференцировав (49) по времени, найдем скорость частиц среды , а продифференцировав по координате – относительную деформацию :
; . (50)
Следовательно, скорость и деформация тоже являются стоячими волнами, сдвинутыми относительно друг друга по фазе на как в пространстве, так и во времени. Поскольку кинетическая энергия ведет себя как квадрат скорости, а потенциальная – как квадрат смещения, то соответственно происходят и превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в кинетическую. При этом в момент максимального смещения наиболее растянуты области узлов, там запасена потенциальная энергия; в момент нулевого смещения максимальная скорость в пучностях, там максимальна кинетическая энергия. Таким образом, внутри области размером /2 происходят превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот, соответственно передача энергии от узлов к пучностям и наоборот. При этом никакого переноса энергии через узлы и ее распространения не происходит. Величина среднего потока энергии через любую плоскость, перпендикулярную оси х равна нулю.
Колебания струны, закрепленной с обоих концов. При возбуждении в струне поперечного возмущения, в ней могут возникнуть стоячие волны, но не любой частоты. Это связано с очевидными граничными условиями: на концах струны должны быть узлы. Отсюда следует, что на струне длиной l должно укладываться целое число полуволн:. Это значит, что могут быть возбуждены колебания с длинами волн, подчиняющимися условию , или частот , где n=1,2,3…; а фазовая скорость (см. 36) зависит от силы, приложенной к струне (сила натяжения), и линейной плотности материала струны.
Частоты, определяемые по формуле
(51)
называются собственными частотами струны; частоту 1 (n=1) называют основной частотой, остальные частоты (n=2,3,…) – обертонами. Гармонические колебания с частотами (51) называются собственными колебаниями, или гармониками.
Звуковые волны. Так называется распространяющийся в упругой среде волновой процесс (в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц), воспринимаемый человеческим ухом. Упругие волны с частотой меньше 20 Гц называются инфразвуком, больше 20 кГц – ультразвуком. Звук различают по высоте, тембру и громкости. Высота звука определяется его частотой: чем больше , тем выше звук. Тембр звука определяется всем набором частот этого звука, который называется его акустическим спектром. Этот спектр может состоять из непрерывного или дискретного набора частот. Именно тембром определяются отличия в звучании музыкальных инструментов.
Громкость звука – это мера слухового ощущения, качественно характеризуемая терминами от тихого до громкого. При неизменной частоте громкость звука растет с увеличением его интенсивности I (Вт/м2). Минимальная величина I10-12 Вт/м2 (порог слышимости). При интенсивности звука I10 Вт/м2 (порог болевого ощущения) восприятие звука сменяется ощущением давления и боли. Оба порога зависят от частоты колебаний. Субъективное восприятие громкости возрастает значительно медленнее роста интенсивности звука, поэтому используют логарифмическую шкалу, в которой громкость звука оценивают величиной L:
, где LБ – уровень интенсивности звука в белах (Б), I0 10-12 Вт/м2 – порог слышимости при частоте 1 кГц. Таким образом, уровень порога слышимости LБ=0. Обычно пользуются не белами, а в 10 раз меньшей единицей – децибелом:
. (52)
В этих же единицах можно измерять уменьшение (затухание) интенсивности звука на расстоянии. Например, затухание в 20 дБ соответствует уменьшению интенсивности в 100 раз. Действительно: , где - интенсивность в точке, расположенной ближе к источнику.
Эффект Доплера для звуковых волн. Если источник звука, или приемник, или они оба движутся относительно среды, то частота , воспринимаемая приемником отличается от частоты, испускаемой источником . Это явление называется эффектом Доплера, и объясняется уплотнением (разряжением) импульсов, обусловленным движением источника и приемника. Опуская вывод, приведем формулу, связывающую частоты источника и приемника :
, (53)
где и - проекции скоростей источника и приемника на ось х, направленную от источника к приемнику, - скорость звуковых волн в данной среде.