10. Уравнения Максвелла

 М. у. в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию (См. Циркуляция)векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и Потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

         Первое М. у. является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

         Первое М. у. имеет вид:

        

        то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь j_n— проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадкеds, являющейся частью поверхности S, с = 3․10¹⁰ см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

         Второе М. у. является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

        

        то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь B_n — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу (См. Ленца правило) для направления индукционного тока.

         Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

        

        то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

         Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса теоремой (См. Гаусса теорема)) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

        

        то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

         Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов B и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а — г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму М. у. (обычно более удобную для решения различных задач):

         rot

         rot

         div

         div

         Здесь rot и div — дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и Дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

         М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е, а B — через Н:

         D = D (E), B = B (Н), j = j (E). (3)

         Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D≡Е и B≡ Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.