- •1.1.Понятие функции нескольких переменных.
- •1.3Частные производные первого и второго порядка
- •1.4 Полный дифференциал.
- •1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •1.5 Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:
- •2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла
- •1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •3.2 Свойства определенного интеграла.
- •3.3 Фомула Ньютона-Лейбница
- •3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3.6Приложение определенного интеграла в геометрии
- •3.8 Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •4.1. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •4.2 Ду первого порядка. Задача и теорема Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •4.3Линейные ду первого порядка
- •4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •4.6 Однородные линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
- •4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •5.2Сумма ряда.
- •5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
- •5.3 Необходимый признак сходимости.
- •5.6Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.4.Свойства степенных рядов .
- •5.5Признак сравнения рядов
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
1.1.Понятие функции нескольких переменных.
Пусть D-множество пар (x;y) действительных чисел и z-некоторое числовое множество. Если каждой паре (х;у)D по некоторому правилу поставлено в соответствие одно определенное число zZ, то говорят, что на множестве D задана функция z = f (x,y). x,y -независимые переменные ( аргументы ), D - область определения функции.
Так как каждой паре чисел (х,у) на плоскости соответствует единственная точка М(х,у) и наоборот, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки М(х,у) и вместо записи z = f (x,y) записывать z = f (M). Аналогично определяется функция n переменных: z = f (x1, x2, …, xn). Функцию двух переменных можно задать с помощью формулы, с помощью таблицы или графиком. Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность.
Производственные функции. Функция Кобба-Дугласа. Производственные функции выражают зависимость между производственными затратами и выпуском продукции. Возникновение производственных функций относят к 1928 году, когда американские ученые Д.Кобб и П.Дуглас опубликовали статью, в которой впервые была рассмотрена функция, выражающая зависимость между объемом основных фондов К, трудовыми затратами L и объемом выпущенной продукции У. Эта функция имела вид:
У = А*К *L1- , где А = соnst, A›0, 0‹‹1. Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа. В экономике используются и другие производственные функции.
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных. 1). -окрестность
Расстояние между точками М(х,у) и М0(х0,у0) будем обозначать (М,М0) и
(М,М0) = .
Определение: Множество точек М(х,у), координаты которых удовлетворяют неравенству (М,М0) называется -окрестностью точки М0.
Геометрический смысл: это множество точек, лежащих внутри круга с центром в точке М0(х0,у0) и радиусом .
2). Сходящаяся последовательность точек.
Говорят, что последовательность точек Мn(xn,yn) сходится к точке М0(х0,у0), если limn∞(Mn,M0) = lim n∞= 0
3). Предел функции.
Число А называется пределом функции z = f (M) в точке М0, если для любой сходящейся к М0 последовательности точек М1, М2, М3,…,Мn,.., отличных от М0 , соответствующая последовательность значений функций f (M1), f (M2), f (M3), …, f (Mn), … сходится к числу А.
4). Непрерывность.
Опр.1: Функция z = f (M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть если lim MM0 f(M) = f(M0).
Опр.2: Если в точке М0(х0,у0) бесконечно малым приращениям аргумента ∆х и ∆у соответствует бесконечно малое приращение функции ∆z, то функция непрерывна в точке М0. lim ∆x0. ∆y0 ∆z = 0
1.3Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной)
О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+х, y+у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х0,у0.Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y)
Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е.
z’x =
Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.
Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.
Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания.
Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления.
Производная изолированной const = 0