- •ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
- •Абсолютно твердое тело в процессе движения не деформируется, т.е. расстояние между его любыми
- •Вращающий момент (или момент силы)
- •• Расстояние r от оси вращения до линии вдоль которой действует сила называется
- ••Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен
- •Момент инерции относительно неподвижной точки вращения
- •• Произведение массы материальной точки тела
- •Момент инерции твердого тела
- •• Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью плотности
- •• Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом
- ••Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно
- ••Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.
- •• Сплошной однородный диск.
- ••Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.
- ••Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:
- •Теорема Штейнера
- •Момент импульса материальной точки и твердого тела
- •• Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль
- ••Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения)
- ••Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому
- •• Таким образом
- •Основное уравнение динамики вращательного движения
- •По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно переписать следующим образом
- •Закон сохранения момента количества движения
- ••Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения момента количества движения: и формулируется следующим
- ••Именно закон сохранения момента импульса используется танцорами на льду для изменения скорости вращения.
- •Скамья Жуковского
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •• Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то
- ••Сопоставив (1) и (2), можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой
- •Основные величины и уравнения кинематики и динамики вращательного движения легко запоминаются, если сопоставить
•Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:
•Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому
.
•С учетом связи линейных и угловых величин
•и направлен вдоль оси
вращения тела в ту же сторону, что и вектор .
• Таким образом
•Момент импульса тела относительно оси вращения
•т.е.
•Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.
Основное уравнение динамики вращательного движения
• Вращающий момент тела
или
•Это выражение представляет собой аналог второго закона Ньютона для вращательного движения, из которого следует, что угловое ускорение твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции относительно этой оси. Из этого выражения следует, что момент инерции J является мерой его инертности во вращательном движении вокруг неподвижной оси. В случае поступательного движения мерой инертности, как известно, является масса тела.
По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно переписать следующим образом
С учетом
Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом:
изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.
Закон сохранения момента количества движения
•Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что
•Для замкнутой (изолированной) системы результирующий вектор
момента |
всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю и |
• или
•Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения момента количества движения: и формулируется следующим образом:
•если результирующий момент всех внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
•Этот закон может быть обобщен на любую незамкнутую систему тел, если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.
•Именно закон сохранения момента импульса используется танцорами на льду для изменения скорости вращения.
Скамья Жуковского
Кинетическая энергия вращающегося тела
•Кинетическая энергия – величина аддитивная.
•Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:
(1)