математика
.pdfМИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе, профессор
___________П.Б. Акмаров «____» __________ 2015 г.
О.В. Кузнецова
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Практикум для экономических направлений бакалавриата и специалитета
Ижевск
2015
УДК 512.64+514.12(076.5)
ББК 22.143+22.151.5я73 К 89
Учебное пособие составлено на основе Федеральных Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, ут-
верждённых 21.12.2009 г., 20.05.2010 г., 14.01.2011 г.
Рассмотрено и рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА, протокол № ____ от _______2015 г.
Рецензенты:
Н.А. Алексеева – доктор экономических наук, профессор кафедры экономического анализа и статистики ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА.
Н.В. Хохряков – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА.
К 89 Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум для экономических направлений бакалавриата и специалитета : учеб. пособие / О.В. Кузнецова. – Ижевск: ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА, 2015 г. – 89 с.
Учебное пособие содержит теоретический материал, набор задач, вопросы для самоконтроля, глоссарий по всем разделам дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», а также итоговые тесты по дисциплине, в том числе тесты с компетентностноориентированными вопросами. Пособие дополняет лекционный материал, предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов экономических направлений бакалавриата и специалитета.
УДК 512.64+514.12(076.5) ББК 22.143+22.151.5я73
©ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА, 2015
©Кузнецова О.В., 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………................................ |
.................. |
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ |
|
УРАВНЕНИЙ …………………………………………..………………………………….... |
|
1.1.Определители. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей (метод Крамера) ………..…….……………………………………………...
1.2.Матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод) и методом Гаусса …..…………..………………....................
. |
1.3. |
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики …….……………………….. |
|
ГЛАВА 2. |
ВЕКТОРЫ …………………............................................ |
..................................... |
2.1.Основные действия над векторами ……………………………………………..
2.2.Линейные операторы ……………...…………………………..............................
ГЛАВА 3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ …...……………………………………………..
ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ …..…....................
4.1.Прямоугольные координаты ………..…………….…………………………….
4.2.Полярные координаты ………..…………………………………………………
4.3. |
Прямая на плоскости ………............................................... |
.................................. |
|
4.4. |
Кривые 2-го порядка …………………………………………….….................... |
|
|
ГЛАВА 5. |
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ .......................... |
||
ГЛАВА 6. |
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА …………………………………………………... |
|
|
ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………….......………….............................. |
............................. |
||
Приложение А. Итоговые тесты ……………………………………………………. |
|
||
|
Тест 1. |
…………………………………………………………………………. |
|
|
Тест 2. |
…………………………………………………………………………. |
|
Тест 3. . ………………………………………………………………………...
Приложение В. Глоссарий ………………….……………………………………...
Приложение С. Ответы к задачам и тестам ………………………………………
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………………….
3
4
5
5
9
15
19
19
24
27
30
30
31
33
38
44
53
57
57
57
63
67
70
82
88
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с учебным планом студенты экономических направлений бакалавриата изучают следующие математические дисциплины: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика».
Первой из дисциплин является «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Линейная алгебра – это часть математики, изучающая системы линейных уравнений, определители и матрицы, линейные (векторные) пространства. Аналитическая геометрия – изучает свойства геометрических фигур с помощью алгебры (прямоугольные координаты, полярные координаты, прямая на плоскости, кривые 2-го порядка, прямая и плоскость в пространстве). Эта дисциплина является подготовительной для изучения последующего крупного раздела математики – математического анализа.
Учебное пособие написано автором на основе опыта чтения лекций и проведения практических занятий по математике на экономическом факультете Ижевской государственной сельскохозяйственной академии. Преподавателям, работающим на других факультетах, пособие также может быть полезно при проведении практических занятий и организации самостоятельной работы студентов, поскольку различия в содержании математических дисциплин для других направлений, в том числе инженерных, не столь существенны.
При подборе части задач были использованы учебные пособия Н.Ш. Кремера «Высшая математика для экономистов» и «Практикум по высшей математике для экономистов», В.С. Шипачёва «Задачник по высшей математике». При составлении тестов автор ориентировался на уровень сложности заданий, приведённых на сайте Федерального интернет-экзамена в сфере профессионального образования (ФЭПО).
Пособие дополняет лекционный материал, но также может использоваться и самостоятельно, поскольку содержит необходимый для решения задач минимум справочного материала и основных понятий.
4
ГЛАВА 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1.Определители. Решение систем линейных уравнений
спомощью определителей (метод Крамера)
Определители 1-го порядка:
Определители 2-го порядка:
= a11 = a11.
= |
a11 |
a12 |
= a a |
22 |
− a |
21 |
a . |
|
a21 |
a22 |
11 |
|
12 |
||
|
|
|
|
|
|
Определители 3-го порядка:
1-й способ – правило «треугольников»:
= |
a11 |
a12 |
a13 |
= a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 − (a31a22 a13 + a32a23a11 + a21a12 a33 ). |
a21 |
a22 |
a23 |
||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
2-й способ – |
метод добавления столбцов (или строк): |
|||||||
= |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
= a11a22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a31a22 a13 + a32 a23a11 + a33a21a12 ). |
|
|
|||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
|
3-й способ – |
метод разложения по элементам строки (или столбца): |
|||||
= |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai3 Ai3 − разложение по элементам i − й строки(i = 1, 2,3). |
|
|
|||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
= |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
= a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j – разложение по элементамj − го столбца( j =1, 2,3). |
|
|
|||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Aij = (−1)i+ j
M ij − минор элемента aij , равен определителю, который получается при вычеркивании в определителе i − й строки и j − го столбца.
4-го и более порядка: метод разложения по элементам строки (или столбца) или приведение определителя к треугольному или диагональному виду и применение свойства определителя: если определитель имеет треугольный или диагональный вид, то он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
(применим только для систем с равным числом уравнений и неизвестных)
a х + a y + a z = b , |
|||
11 |
12 |
13 |
1 |
a21 х + a22 y + a23 z = b2 , |
|||
a х + a y + a z = b . |
|||
31 |
32 |
33 |
3 |
a11 a12 a13
= a21 a22 a23 − определитель системы.
a31 a32 a33
Если ∆≠0, то система имеет единственное решение, которое находят по следующим формулам:
|
x |
|
|
|||
x = |
, |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|||
y = |
|
|
|
, |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
||
z = |
|
. |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Определители x , |
y , |
z получают заменой соответствующего столбца опреде- |
|||||||||||||||||
лителя ∆ столбцом свободных членов системы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
х = |
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
y = |
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
z = |
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b2 |
a22 |
a23 |
|
|
a21 |
b2 |
a23 |
|
|
|
a21 |
a22 |
b2 |
|
|
|||
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
6
Если ∆=0, то возможны две ситуации:
1) ∆х=∆y=∆z=0 система имеет бесконечно много решений (для их нахождения применяется метод Гаусса);
2) хотя бы один из определителей x , y , z не равен нулю система реше-
ний не имеет.
ЗАДАЧИ Для аудиторной работы
1. Вычислить определители 2-го порядка:
8 |
−7 |
|
, |
|
0 |
2 |
|
, |
|
cosα |
sin α |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
3 |
|
|
−5 |
1 |
|
|
sin α |
cosα |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить определители 3-го порядка (любым способом):
−2 |
3 |
5 |
|
3 |
−2 |
8 |
|
|
|
|
|||||||
1 |
4 |
2 |
, |
6 |
5 |
1 |
|
. |
−3 |
5 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить определители 3-го порядка, пользуясь свойствами определителей:
|
8 |
6 |
10 |
|
|
|
5 |
2 |
5 |
|
|
|
−3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
12 15 |
|
, |
|
3 |
0 |
3 |
|
, |
|
5 |
1 |
3 |
|
. |
|
|
0 |
2 |
25 |
|
|
|
1 |
6 |
1 |
|
|
|
6 |
−4 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Решить уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
3 |
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
5 |
−1 |
|
= 0. |
|
|
|||
|
|
|
2 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти М13, А21: |
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
3 |
0 |
2 |
1 |
|
. |
||||
|
|
|
6 |
5 |
−3 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
4 |
7 |
2 |
−2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
6. Найти решение системы уравнений методом Крамера:
а)
в)
2x + 3y = −1, |
|
|
+ 6 y = 1. |
x |
2x1 − x2 + x3 = 2, |
||
|
+ 2x2 + 2x3 = −2, |
|
3x1 |
||
x − 2x |
+ x = 1. |
|
1 |
2 |
3 |
2x − 4 y + 3z = 1,
б) x − 2 y + 4z = 3,
3x − y + 5z = 2.
x − y + 2z = 2,
г) 2x − 2 y + 4z = 4,
x − 3y + z = 5.
x + y + z = 1, д) 2x + y + z = 2,
3x + 2 y + 2z = 4.
7. Определить, при каких a и b система
3x − 2 y + z = b,
5x − 8 y + 9z = 3,
2x + y + az = −1
а) имеет единственное решение; б) не имеет решений;
в) имеет бесконечно много решений.
Для самостоятельной работы
8. Вычислить определители 3-го порядка (любым способом):
−6 |
8 |
1 |
|
1+ сosα |
1+ sin α |
1 |
|
|
|
|
|||||||
2 |
4 |
3 |
, |
1− sin α |
1+ сosα |
1 |
|
. |
5 |
6 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
9. Решить неравенство: |
|
1 |
х |
−2 |
|
> 0. |
|
|
−1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти решение системы уравнений:
x + 2 y − z = 2, |
x − y + z = 2, |
а) 2x − 3y + 2z = 2, |
б) 2x − 2 y + 2z = 4, |
3x + y + z = 8. |
x − 3y + z = 1. |
|
|
8
1.2.Матрицы. Решение систем линейных уравнений
спомощью обратной матрицы (матричный метод) и методом Гаусса
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
... |
1n |
|
|
Матрица А размера m×n имеет вид: |
A = a21 |
a22 |
a2n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
... |
|
||
m – число строк, n – число столбцов. |
|
|
... |
|
|
||||||
am1 |
am 2 |
amn |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = 0 |
1 |
... |
0 |
|
– единичная матрица (n×n). |
|
|
|
|
||
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Действия над матрицами
1) Сложение (вычитание):
a |
a |
а |
|
b |
b |
b |
|
a |
± b |
a ± b |
а ± b |
|
11 |
12 |
13 |
|
± 11 |
12 |
13 |
|
= 11 |
11 |
12 12 |
13 13 |
. |
a21 |
a22 |
а23 |
b21 |
b22 |
b23 |
a21 |
± b21 |
a22 ± b22 |
a23 ± b23 |
|
2) Умножение матрицы на число:
a |
a |
a |
|
k × a |
k × a |
k ×a |
|
|
k 11 |
12 |
13 |
|
= |
11 |
12 |
13 |
, k R. |
a21 |
a22 |
a23 |
k × a21 |
k ×a22 |
k ×a23 |
3) Перемножение: каждый элемент i-й строки первой матрицы умножается на соответствующий элемент j-го столбца второй матрицы, результаты складываются. При этом перемножить можно только те матрицы, размеры которых
удовлетворяют условию: A × B = |
C . Переместительный закон для этого дей- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
m×n n×k |
m×k |
ствия не выполняется, т.е. АВ≠ВА. |
||||||||
4) Нахождение обратной матрицы (для квадратной матрицы): |
||||||||
|
|
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
|
11 |
21 |
... |
n1 |
|
|
А−1 = |
1 |
|
A12 |
A22 |
An2 |
. |
|
|
|
А |
... ... |
... |
... |
|
|
||
|
|
|
A1n |
A2n |
... |
|
|
|
|
|
|
Ann |
|
Aij = (−1)i + j M ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы aij .
Mij − минор элемента матрицы aij , равен определителю, который получается при вычеркивании в определителе i − й строки и j − го столбца.
9
5)Нахождение следа квадратной матрицы: суммируют элементы, стоящие на главной диагонали. Обозначение: trA или spA.
6)Транспонирование матрицы: строки заменяют соответствующими столбцами или симметрично отображают элементы относительно главной диагонали (в случае квадратной матрицы).
a |
a |
|
... |
a |
|
|
11 |
|
21 |
... |
|
m1 |
|
AТ = a12 |
a22 |
am 2 |
. |
|||
... ... |
... ... |
|
||||
|
a2n |
... |
amn |
|
||
a1n |
|
7) Нахождение ранга матрицы:
а) приводят матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований (умножение строки на любое число (≠ 0), сложение строк, перемена строк местами);
б) считают число ненулевых строк (строка считается нулевой, если все её элементы равны 0).
Обозначение: rA или r(A).
Матричный метод решения систем линейных уравнений
(применим только для систем с равным числом уравнений и неизвестных)
AX = B − матричная форма записи системы,
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
x |
|
|||
A = a |
21 |
a |
22 |
a |
|
− матрица системы, |
X = y |
|
− матрица неизвестных, |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
||
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
z |
|
|
b1
B= b2 − матрица свободных членов.b3
Тогда X = A−1B − решение системы.
10