Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ

b

∫f (x )dx = F (x )ba = F (b )− F (a ).

a

2. Метод замены переменной (или метод подстановки). При вычислении определенного интеграла этим методом возможны два пути: либо, найдя первообразную функции, вернуться к первоначальной переменной и уже потом применить формулу Ньютона-Лейбница, либо, совершая подстановку, соответственно изменить и пределы интегрирования. Более целесообразным в

3. Метод интегрирования по частям. Если функции u(x) и υ(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то

Геометрические приложения определенного интеграла

1) Вычисление площадей плоских фигур.

41

Если y = f (x) - непрерывная на отрезке функция и ее график пересекает отрезок [a; b] оси Ox конечное число раз, то отрезок [a; b] разбивают на интервалы, на каждом из которых функция знакопостоянна, и на каждом таком промежутке находят площадь фигуры, используя соответствующую формулу.

2) Вычисление объема тел вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией y = f (x), осью Ox и

прямыми x = a , x = b , вычисляется по формуле

b

V = π∫ f 2 (x)dx .

a

Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

Интеграл в левой части равенства называется несобственным интегралом. Если существует конечный предел в правой части формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы:

где c - произвольно выбранное число. Последний интеграл сходится, если каждый из интегралов, входящих в правую часть, сходится.

42

Задания 9

9.2. Вычислить определенные интегралы, заменив переменную:

9.4. Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1) y = 4x2 +12x +9 , y = 0 , x = 0 ; 2) у = −х2 + 4х − 4, х = 0, у = 0 ; 3) y = 3 − x2 , y = 2x ;

3)y = x3 , у =1, х = 0 .

9.6.Вычислить интегралы или установить их расходимость:

43

Домашнее задание № 9

10. Функции нескольких переменных

Пусть имеются две переменные x и y . Если каждой паре их значений из некоторого множества D ставится в соответствие единственное число, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных z = f (x, y) .

Множество D называется областью определения функции. Множество всех значений, принимаемых переменной z, называется областью значений функции z = f (x, y) .

Аналогично определяется функция n переменных.

Линией уровня функции называется геометрическое место точек

плоскости xOy , в которых данная функция принимает постоянное значение

f (x, y) = const .

Частной производной функции нескольких переменных по одной из них называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращениюданнойпеременной, когдапоследнеестремитсякнулю.

44

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие переменные постоянными. Так, частной производной по функции z = f (x, y) называется

обычная производная по , вычисленная в предположении, что – постоянная;

Частные производные от частных производных функции называются

частными производными второго порядка.

Для функции двух переменных можно определить четыре частные производные второго порядка:

45

характеризует скорость изменения функции в направлении вектора l . Градиентом функции z = f (x, y) называется вектор с координатами

(z′x ; z′y ) : gradz = z′x i + z′y j .

Для исследования функции двух переменных на экстремум пользуются схемой:

1) найти критические токи функции z = f (x, y) (точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют);

2) найти значения определителя ∆ для каждой критической точки, где

∆ = AC − B2 , A = fxx″(x0 , y0 ), C = fyy″(x0 , y0 ), B = fxy (x0 , y0 ) .

Если ∆ > 0 и A > 0 , то точка (x0 ; y0 ) - точка минимума функции z = f (x, y) .

Если ∆ > 0 и A < 0 , то точка (x0 ; y0 ) - точка максимума функции z = f (x, y) .

Если ∆ < 0 , то в точке (x0 ; y0 ) экстремума нет.

Если ∆ = 0 , то в точке (x0 ; y0 ) функции z = f (x, y) может иметь экстремум,

а может и не иметь его.

Если разыскивается экстремум функции двух переменных, которые связаны между собой уравнением g(x, y) = c , то говорят об условном экстремуме. Чтобы найти условный экстремум функции z = f (x, y) , составляют функцию Лагранжа F(x, y,λ) = f (x, y) + λ(g(x, y) − c) , где λ - неопределенный постоянный множитель, и находят экстремум функции F(x, y,λ) .

46

Наибольшее и наименьше значение (т.е. глобальный максимум и минимум)

функции z = f (x, y) определяется как наибольшее и наименьшее значение

функции в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на ее границе.

Пусть производится n наблюдений переменных х и у, между которыми существует зависимость y = f (x) . Согласно методу наименьших квадратов

параметры неизвестной функции следует выбирать так, чтобы сумма квадратов

n

S = ∑(f (xi − yi )2 была наименьшей. Предполагая, что между х и у существует

i=1

линейная зависимость y = ax + b найти значения неизвестных параметров a и b

можно из системы уравнений:

Задания 10

10.3. Найти частные производные первого порядка от функций:

6) z = arctg xy ; 7) z = xye2 x+3 y .

47

2) z = xe y ; 3) z = sin x cos y ; 4) z = ln(x2 + y2 ) ; 5) z = x 2 y .

10.5.Найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла в точке M (1; 1) функции z = x3 у −5ху2 +8.

10.6.Найти производную функции z = x2 + у2 в точке M (1; 1) . Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью Ох угол: а) π3 ; б) π6; в) π2 .

1) z = x2 + y2 + xy − 4x − 5y ; 2) z = y 2 − x 2 + xy − 2x − 6 y ; 3) z = y x − y 2 − x + 6 y ;

4)z = 2x3 − хy2 +5x2 + у2 ; 5) z = xy − ln(x + y) ; 6) z = e x 2 (x + y 2 ).

10.9.Найти условные экстремумы функций: 1) z = ху2 при х + 2 у = 4 ;

2) z = 2х + у при х2 + у2 = 5 ; 3) z = 4 x 3 y ïðè 2x + 5y =100 .

10.10.Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6π .

10.11.Из всех прямоугольных треугольников с гипотенузой а найти треугольник наибольшего периметра.

количество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товаров А и В нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальны?

10.13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в областях, задаваемых неравенствами:

1) z = x − 2 y + 5, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤1; 2) z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤1 ;

48

Найти: а) линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока эксплуатации; б) предполагаемую величину затрат на ремонт за 10-ый год эксплуатации.

Домашнее задание №10

1. Найти частные производные функций:

− y

1) z = 2x 2 − xy 2 + 3x 2 y − 2 y 3 + 3x − 4 y +1; 2) z = arcsin(xy); 3) z = e x ;

4) z = ln( x + 3 y).

2. Найти производную по направлению вектора a (6;8) для функции

6. Получить линейную зависимость y = àx +b по следующим данным:

49

11. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным называется уравнение, содержащее независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные (дифференциалы)

различных порядков.

Порядок старшей производной (дифференциала), входящей в

которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции у обращает его в тождество относительно х.

Множество всех функций, являющихся решением данного уравнения, называется общим решением уравнения. Общее решение дифференциального уравнения n -ого порядка содержит n произвольных независимых постоянных

C1 , C2 , ..., Cn : y =ϕ(x, C1 , C2 , ..., Cn ).

Каждое конкретное решение дифференциального уравнения называется частным. Оно получается из общего при некоторых конкретных значениях

называется задачей Коши (начальной задачей).

Дифференциальные уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

50