Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

809.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Домашнее задание 3

1. Составить формулу n-ого члена последовательности, найти 100-ый член:

а)	1	,	2	,	3	,...; б) sin π, sin 2π, sin 3π, ,....
	2		3		4

2.Найти первые пять членов последовательностиx1 = 2, xn+1 = 2xò .

3.Используя определение предела последовательности, докажите, что

lim

2n −1

3n +1

n→∞

4. Вычислите пределы последовательностей: а)

lim

3n −1

;

5n + 2

n→∞

б) lim

−1

; в)

lim(

−

) ; г)

lim( n3

+ 4

−

n3 ) .

7n2

+ 3n − 2

n −1

n2 −1

n→∞

4. Предел и непрерывность функции

Число А называется пределом функции

y = f (x)

при х, стремящемся к

бесконечности

lim f (x) = A, если

для

любого

сколь

угодно

малого

x→∞

положительного числа ε существует такое положительное число C =C(ε) , что

для всех х, таких, что

>C , выполняется неравенство

f (x) − A

<ε .

Пусть функция

y = f (x)

определена на некотором интервале (a, b) , кроме,

может быть, точки x0 (a, b) . Число А называется пределом функции y = f (x)

точке x0 ,

если для любого сколь угодно малого положительного числа

существует

такое положительное

число δ =δ(ε) ,

что для

всех

x из (a, b) ,

удовлетворяющих

неравенству

x − x0

<δ, x ≠ x0 ,

выполняется

неравенство

f (x) − A

<ε . Записывают lim f (x) = A .

x→x0

x0 , оставаясь

x0 , что

Переменная

может

стремиться

меньше

записывают x → x0 − 0 , или оставаясь больше x0 , что записывают x → x0 + 0 .

Предел	lim f (x) = A1		называется пределом функции	y = f (x)	в точке x0
	x→x0	−0
слева, а предел		lim f (x) = A2 называется пределом функции y = f (x)			в точке x0
		x→x0 +0
справа.
Пределы функции в точке справа и слева называют односторонними
пределами.	Связь между		пределом функции в точке	и односторонними

пределами устанавливается следующей теоремой: Функция y = f (x) имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева и они равны. В этом случае их общее значение

и является пределом функции в точке x0

lim

f (x) = lim

f (x) .

x→x0 +0

x→x0 −0

x→x0

Свойства пределов функций

Все функции, рассматриваемые ниже, определены на некотором интервале

(a, b) , кроме, может быть, фиксированной точки x0 (a, b) .

1.Если f (x) = c (с- постоянная), то lim f (x) = c ;

x→x0

2. Если существует lim f (x), то limcf (x) = c lim f (x) , где c = const ;

x→x0

3. Если существуют lim f (x) и lim g(x) , то:

→x0

x→x0

lim(f (x) ± g(x))= lim f (x) ± lim g(x) ,

x→x0

lim (f (x)g(x))= lim f (x) lim g(x) ,

x→x0

lim f (x)g ( x)

lim g ( x)

= lim f (x) x→x0

x→x0

f (x)

lim f (x)

lim

x→x0

, если lim g(x) ≠ 0

x→x0

g(x)

lim g(x)

x→x0

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функцияα =α(x) называется

бесконечно

малой

функцией

при x → x0

( x →∞) или просто бесконечно малой, если limα(x) = 0.

x→x0

Функция y = f (x)

называется бесконечно большой

при

x → x0 , если

lim f (x) = ∞.

x→x0

Если функция α =α(x) является бесконечно малой при x → x0 , то функция

f (x) =	1	является бесконечно большой при x → x0 . И наоборот: если
	α(x)

функция y = f (x) является бесконечно большой при x → x0 , то функция

α(x) = f 1(x) является бесконечно малой при x → x0 .

Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций:

1)Сумма конечного числа бесконечно малых функций - бесконечно малая функция.

2)Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) - бесконечно малая функция.

3)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, - бесконечно малая функция.

4)Произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, - бесконечно большая функция.

5)Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции - бесконечно большая функция.

6)Частное от деления бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный предел,- бесконечно большая функция.

Если lim	α(x) =1, то α(x) и β(x)			называют эквивалентными бесконечно
x→x0	β(x)
малыми функциями. Записываютα(x) β(x) .
			Замечательные пределы
Первый замечательный предел lim sin x =1.
			x→0	x
			x→0
Следствия: 1) lim tg x			=1; 2) lim arcsin x		=1; 3) lim arctgx x			=1.
	x→0	x	x→0	x		x→0	x
					1 x
Второй замечательный предел lim 1 +						= e .
Второй замечательный предел lim 1 +						= e .
			x→∞		x

Следствия: 1) lim(1 + x)x		= e ; 2) lim ln(1 + x) =1.
	1
x→0			x→0	x

Пусть α(x) - бесконечно			малая функция при x → x0 . Пользуясь

определением эквивалентных бесконечно малых функций, замечательными пределами и следствиями можно получить следующую таблицу эквивалентных функций:

sinα(x) α(x) ; tgα(x) α(x) ; arcsinα(x) α(x) ; arctgα(x) α(x) ; ln(1 +α(x)) α(x) ; ( eα ( x) −1) α(x) .

Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить на эквивалентные им.

		Непрерывность функции
Пусть	функция	y = f (x)	определена		в	точке	x = x0	и некоторой
окрестности этой точки. Функция			y = f (x) называется непрерывной в точке
x = x0 если	предел	функции и	ее	значение		в этой	точке	равны, т.е.
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Таким	образом,	чтобы функция		была	непрерывной в			точке x = x0 ,

необходимо выполнение следующих условий: 1) функция должна быть

определена в	точке		x0 ; 2) существуют конечные односторонние пределы
функции в точке		x0 ; 3) значения односторонних пределов функции в точке x0
совпадают lim f (x) = lim f (x) = A; 4) выполняется равенство						f (x0 ) = A .
x←x0	−0		x→x0 +0
Теорема.	Пусть		функции		f (x) и g(x) непрерывны в	точке x0 .	Тогда
функции f (x) ± g(x); f (x) g(x);				f (x)	также непрерывны в этой точке (частное
функции f (x) ± g(x); f (x) g(x);				g(x)	также непрерывны в этой точке (частное
				g(x)
при условии g(x) ≠ 0 ).
Если в точке		x0	нарушено хотя бы одно условие непрерывности,				то x0
называется точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва

1) Если существует lim f (x) = A , но он не равен значению функции в точке
x→x0
x0 , т.е. f (x) ≠ A , то x0 называется точкой устранимого разрыва.
2) Если существуют конечные односторонние пределы функции в точке x0 ,
но они не равны между собой, т.е. lim	f (x) ≠ lim f (x) , то x0 называется точкой
x←x0 −0	x→x0 +0

неустранимого конечного разрыва.

В первом и втором случае точка x0 называется точкой разрыва 1-ого рода. 3) Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не

существует или равен ∞, то x0 называется точкой разрыва 2-ого рода.

Упражнения 4

4.1. Найти пределы функции в точке: 1)

lim

x2 + 2x +3

; 2) lim

−1

;

x2 +1

→1

x→1

x −1

lim

4 −1

; 4)

lim

−6x +8

; 5) lim

x4 + 2x2

−3

; 6)

lim

+ 2x2 − 4õ −

;

−5x + 4

x2 −3x + 2

4x + 4

2 −

−

x→1

x→4

x→1

x→2

7) lim

x −1 −1

1 + x −1

; 9) lim

; 10) lim

2 + x − 3x − 2

;

x − 2

; 8) lim

+ x2 −1

4x +1 −

5x −1

x→2

x→0

x→0 1+ x

x→2

lim

9 + 2x −5

11) x→8

x − 2

4.2. Найти пределы функции на бесконечности: 1) lim

− 2x +3

;

x→∞ x3 + 7x −1

lim

2x4 − x +3

; 3) lim

2x4 −3x3 +5

; 4) lim(

3x4

−3x2 ) ; 5) lim(

4x4

− 4x2 )

;

x→∞ x3 −8x +5

x→∞

3x4 −5x2 +1

x→∞ x2 +

→∞

+ x + 2

lim (

x −3 −

x + 2) ; 7) lim(

x2 +5x − x) .

x→+∞

x→∞

4.3. Найти пределы: 1) lim sin 5x

sin 2 2x

; 2) lim

; 3) lim

; 4) lim

;

x→0

4x 2

x→0

3x2

x→0

arcsin 9x

x→0

sin 2x + sin 8x

; 6) x→0

sin 2 3x

; 7)

3x2

x→π

cos x

; 9) x→π

1 + cos x

1 −3õ2

−1

x→0 cos x −1 ; 8)

(π − x)2 .

lim

x − 2

lim

2 х2

2х

−1

х3

4. 4. Найти пределы: 1) lim (х

7−х3

х+5

; 2)

lim

; 3)

;

1−х2

lim

x→+∞

x→∞ х +1

−6 х

2х +1 7 х

5х3

− 2

3х

− 2х2 −

lim

; 5)

lim

; 6)

lim

; 7)

lim

;

x→∞

2х + 5

5х

х+1

+3х

x→∞

x→0

lim

ln(3 − x) −ln 3

ln x −ln 4

å−2 õ −1

; 9) lim

; 10) lim

; 11) lim(16 −3x)

x−5

arcsin 3x

x→0

x→4

2x −8

x→4

→5

4.5. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва. Построить эскиз графика функции:

x2 − 25

x2 −9

x + 2

f (x) = e

x+3

f (x) =

; 2) f (x) =

; 3)

f (x) =

; 4)

;

x − 2

x − 5

x −3

− 2, x < 0

x ≤ 0

f (x) =

x = 0 ; 6)

f (x) = 1− x, 0 < x ≤1.

− 2, x > 0

x >1

− x

Домашнее задание № 4

1. Найти пределы функции: 1) lim

− 8x + 7

; 2) lim

− 27

;

x2 − 9x +14

x2 − 2x −3

x→7

x→3

3) lim

x +1 −

1 − x ; 4) lim

x + 5 − 3 ; 5) lim

x −1

; 6) lim

5x3 + 4x + 3

;

x→0

x→4

5 − x −1

x→1

x −1

x→∞

4x − x3 + 7

7) lim

3x3

sin

3 x

; 8)

lim

; 9)

lim(

−1 −

+ 2)

; 10)

lim

;

x2 −1

2x3

x→∞ 3x2 − 4

x→∞ x −1

x→+∞

x→0

11) lim arcsin5x ; 12) lim

1 − cos 2x

; 13)

lim

2х + 3 х+1

; 14) lim

х2

+ 5

х2

;

x sin x

−5

x→0

arctg10x

x→0

→∞ 2х +1

x→∞ х2

15) lim 4х2 −1

ln(5 − x2 ) − ln5

х2

; 16) lim

ln 2 − ln(2 − x)

; 17) lim

x→0

3х2 −1

→0

10x

→0

2x2

2. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать

	3		x −	2,	x < 0,		x	2	− 5x + 6
характер разрыва: 1) y =	3	; 2)			x = 0 ; 3)	y =	x		− 5x + 6	;
			y = − 2
	x − 4		y = − 2						x − 3
	x − 4			− 2,	x > 0				x − 3

			− x

4)y = x2 −16 .

x− 4

5.Производная функции. Правила дифференцирования. Вычисление производных. Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) определена на множестве Х. Выберем точку x X ,

дадим х приращение ∆x ≠ 0, тогда	функция	получит приращение
∆y = f (x + ∆x) − f (x) .
Производной от функции y = f (x) по	аргументу	х называется предел

отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

f ′(x) = lim ∆f .

∆x→0 ∆x

Функция, имеющая производную в точке х0, называется

дифференцируемой в точке х0.

Правила дифференцирования функций

Пусть С – постоянная, u = u(x), v = v(x) - функции, имеющие производные.

Тогда:

′

= u

′

± v

′

(u v)

′

+ uv

′

3. (Cu)

′

= Cu

′

, где C = const

1. (u ± v)

= u v

′

u v −uv

Если

y = f (u), u = u(x) ,

т.е.

y = f (u(x)) , где f (u) и

u(x) имеют производные, то y′x = yu′ u′x (правило дифференцирования сложной функции).

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в

ней.

Таблица производных основных

элементарных функций

C′ = 0, C = const

2. (xα )′ =αxα−1

3. (a x )′ = a x ln a

4. (ex )′ = ex

(loga x)′ =

(ln x)′ =

7. (sin x)′ = cos x

8. (cos x)′ = −sin x

x ln a

(tg x)′ =

10. (ctg x)′ = −

11.

(arcsin x)′ =

cos2 x

sin 2 x

1− x2

′

13. (arctg x)

(arc c tg x)

12. (arccos x)

= −

1− x2

= 1 + x2

14.

= −1 + x2 .

Логарифмическое дифференцирование

Это метод дифференцирования, при котором производная от заданной функции находится с помощью производной ее логарифма. Прежде чем находить производную функции y = f (x) , ее логарифмируют: ln y = ln f (x) , а

затем дифференцируют полученное равенство и находят y′:

yy′ =(ln f (x))′ y′= y (ln f (x))′.

Дифференцирование неявно заданной функции

При дифференцировании неявно заданной функции F (x; y) = 0 находят

производные правой и левой частей уравнения, рассматривая при этом у как функцию от х, затем из полученного равенства выражают y′.

Например,

найдем

производную

функции

x3 + y3 −3xy = 0 .

Дифференцируем данное равенство по х:

+3y

′

−(3y +3xy ) = 0 . Выразим

из полученного равенства y′:

3y 2 y′−3xy′ = 3y −3x2 ,

y′

y − x2

y 2 − x

Производные высших порядков

Производная

f ′(x) называется производной

первого

порядка. Если

функция f ′(x) дифференцируема, то ее производная называется производной

второго порядка и обозначается f ′′(x) . Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и

обозначается	f ′′′(x) . Производной n-ого порядка называют производную от
производной	(n-1)-ого порядка		f (n) (x) = (f (n−1) (x))′. Производные порядка выше
первого называются производными высших порядков.
		Дифференциал функции
Дифференциалом функции			y = f (x)	называется главная,	линейная
относительно	∆x	часть приращения		функции, равная произведению
производной	на	приращение независимой переменной:			dy = y ∆x .
					′

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = ∆x . Поэтому дифференциал функции равен: dy = y′dx .

Упражнения 5

5.1. Найдите производные функций:

у = х

+3х

− 2х

+1 ; 2) у =

+ х2

− х3 + 2 ; 3) y =

4 x

− 3 x

y = 4ex + arctgx + arccos x ; 5)

у = 3 х + 4 cos x − 2tgx + 3; 6) y = x2 log3 x ;

1 +

x ln x

y = (x2

+ 2x + 2) 5x ; 8) y =

; 9)

y = 1 −

; 10)

y =

; 11)

y = 2

−3x4 ;

−1

1 + x

12)

y = ln(5x2

+ 2x5 ) ; 13)

y = ectgx ; 14)

y = 1

arctg x

; 15) y = 2 (1 + ln x)3

;

16)

y = sin 2 x ; 17) y = 1 lg

x −3

; 18) y =ln(ctg(2x2

+ 4)) ; 19)

y = 3arccos 2 x ;

x + 3

20)

y = arcctg e

−x 3

; 21)

y = ctg

3 x

; 22) y = arcsin

2 1

; 23) y = log7 cos

1 + x .

5.2. Найти производные функций, используя логарифмическое

дифференцирование:

у = хх3 ; 2) у = х

; 3)

ln x ; 4)

y =(sin x)tgx ; 5)

y = x−xe−2x ;

у = х

2x 4

4x +1

y =

(2x −1)3 3 x3 + 2 ).

5.3. Найти производные неявно заданных функций:

1) x ln y + y ln x = 0 ; 2) x cos y − y sin x = 0 ; 3) xy − arctg xy = 0 ; 4) e x + e y − e xy −1 = 0 .

5.4. Найти производные n-ого порядка от функций:

1)y = ln x ; 2) y = e 2 ; 3) y = cos2 x ; 4) y = (4x +1)n .

5.5.Найти дифференциалы первого порядка функций: 1) y = x3 + x x ;

2) y = arctg	1	; 3)	y = ln	1	− x	; 4) y = x2 sin x .
	x

				1
					+ x

Домашнее задание № 5

1. Найти производные функций:

y = 3 xarctgx

cos x

y =

+ x2

− x3

+ 2; 2)

; 3) y =

1 + 2sin x ; 4)

5ctgx ;

; 6) y =10

3−tg 2 x

; 7) y = arccos e

−x2

; 8)

y = log7

+ x) ;

y = ln

(cos

− x2

y = 5

arcsin35 x

; 10) y =sin2 x3 ; 11) y = (cos3x) x ; 12)

y = 2xarctgx ;

13) cos( x − y) − 2x 3

+ 4 y 4 = 0 ; 14) xey + yex = xy .

2. Найти производные n-ого порядка от функций:

y = ln(1 + x) ; 2)

y = 23x ; 3)

y = sin 3x .

6. Геометрический и экономический смысл производной. Приложения

		производной
	Геометрический смысл производной
Если функция	y = f (x)	дифференцируема в точке	x0 , то	число
f ′(x0 ) = tgα = k есть	угловой	коэффициент касательной к	графику	функции
y = f (x) в точке x0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>