- •1. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.
- •2. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
- •3. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
- •3) Классификация точек разрыва функции
- •4. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •5. Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых.
- •6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой
- •8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей
- •9. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы
- •10. Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация.
- •11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие
- •12. Производная функции в точке. Правила дифференцирования суммы,
- •13. Теорема Ферма.
- •14. Теорема Ролля
- •15. Теорема Лагранжа
- •16. Теорема Коши
- •17. Правило Лопиталя
- •18. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое условие экстремума.
- •19. Экстремумы функции одной переменной. Достаточное условие экстремума.
- •20. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости
- •21. Точки перегиба. Необходимое условие существования перегиба. Достаточное
- •22. Понятие о многочлене Тейлора. Формула Тейлора для функции одной переменной (без доказательства). Формула Маклорена для функций ,,.
1. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.
1) Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в
бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть .
В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
2) Пусть задано некоторое числовое множество и каждому поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция , .Число называется пределом функции в точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при .
3) Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х0, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.
Например, пусть переменная х принимает значения x1= –1, x2=2, x3= –3, …, xn=(–1)nn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.
Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.
Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.
Обозначают
4) Из определения предела следует: если переменная xn имеет пределом число a, то это значит, что как бы мало не было любое наперед заданное положительное число e, всегда можно найти такое значение xN, что все последующие ее значения будут удовлетворять неравенству
|xn - a| < e при n і N (1)
Легко видеть, что неравенство (1) равносильно следующим двум неравенствам:
-e < xn - a < e (2)
В самом деле, если xn - a > 0, то из неравенства xn - a < e имеем |xn - a| < e. Если же xn - a < 0, то из неравенства -e < xn - a имеем|xn - a| < e. Прибавляя a ко всем частям неравенств (2), получаем два других неравенства, равносильных неравенству (1)
2. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
Односторонний предел – предел числовой функции , подразумевающий приближение к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым.
Теорема (теорема "о двух милиционерах") Пусть даны три функции ,и, при всехиз некоторого окончаниябазысвязанные неравенством
Пусть функции иимеют общий предел при базе:
Тогда функция также имеет предел при базе, равный тому же числу:
Доказательство. Согласно определению предела, для любого найдутся такие окончания базыи, что привыполняется неравенство
а при -- неравенство
Значит, для окончания при всехвыполняются неравенства
то есть
Это означает, что предел величины равен.
Рис.2.21.Два милиционера ии пьяныйдвижутся в участок