- •I частина
- •§2. Способи задання функції
- •§3. Властивості функцій
- •§4. Елементарні функції
- •Розділ 2 границя функції. Похідна
- •§1. Границя функції
- •§2. Похідна функції
- •§3. Диференціювання складених функцій
- •§4. Похідні вищих порядків
- •§5. Застосування похідної для знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції
- •§6. Дослідження функції на опуклість, угнутість.
- •§7. Схема дослідження функції
- •§8. Функція багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних. Частинні похідні вищих порядків
- •Розділ 3 диференціал функції
- •§1. Визначення диференціала функції однієї змінної
- •§2. Частинний і повний диференціали для функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків
- •§3. Абсолютна та відносна похибка прямого і посереднього (непрямого) виміру. Застосування диференціалів для визначення похибок вимірювань
- •§4. Застосування диференціала для лінійної апроксимації функції та наближених обчислень
- •Контрольні питання
I частина
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
РОЗДІЛ 1
ФУНКЦІЯ
§1. Функція однієї незалежної змінної
Нехай дано дві непорожні множини Х та У. Якщо кожному елементу х з множини Х по визначеному закону чи правилу ставиться у відповідність один і тільки один елемент у з множини У, то говорять що на множині Х задана функція f(х). Множина Х називається областю визначення функції, а множина У, що складається з усіх чисел виду , -множиною значень функції.
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом, значення у– залежною, або значенням функції.
Область визначення позначається D(f), а множина значень - Е(f). Значення функції f(х) при х=а позначають f(а).
§2. Способи задання функції
Табличний. Функція задається парами відповідних значень (xi;yi).
X |
x1 |
x2 |
… |
xі |
… |
xn |
Y |
y1 |
y2 |
… |
yі |
… |
yn |
Графічний спосіб задання в прямокутній декартовій системі координат xOy (дивись рис. 1).
Графіком функції називається безліч точок площиниxOy з координатами (х;y), де y=f(х). Перша координата точки х називається абсцисою точки, координата y – ординатою.
Графіком функції може бути:
- безліч окремих точок;
- лінії (пряма, крива, ламана);
- відрізки.
3. Аналітичний спосіб задання функції (за допомогою формули). У загальному вигляді: . У конкретному випадку використовується відповідна формула. Наприклад:
- степенева функція ,;
- лінійна функція , деі- довільні числа;
- показникова функція , де;
- логарифмічна функція , де;
- тригонометричні функції: .
Деякі, однак, не всі, функції мають обернену функцію. Нехай дана функція . Якщо можна установити відповідність між множинамиУ та Х, таку, що кожному елементу у з множини У по визначеному закону чи правилу ставиться у відповідність один і тільки один елемент х з множини Х, то говорять що на множині У задана функція , обернена функції f.
Щоб для функції знайти обернену функцію, треба у формулі помінятинаі розв’язати рівняння відносно.
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої(дивись рис. 2).
§3. Властивості функцій
Функція , називаєтьсяпарною, якщо для будь-якого значення аргументу х з області визначення функції виконується рівність:
. (1)
Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.
Функція , називаєтьсянепарною, якщо для будь-якого значення х з області визначення функції виконується рівність:
. (2)
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Функція називаєтьсяперіодичною, якщо існує таке додатне число Т, назване періодом функції, при якому для будь-якого значення аргументу х, з області визначення функції, виконується рівність:
. (3)
Основним періодом функції називається найменше додатне число , що відповідає зазначеній властивості.
Функція називаєтьсямонотонно зростаючою на всій області визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення х з області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність:
. (4)
Тобто, функція монотонно зростає, якщо зі збільшенням значення аргументу, відповідне значення функції теж збільшується.
Функція називаєтьсямонотонно спадною на всій області визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення аргументу х з області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність:
. (5)
Тобто, функція монотонно спадає, якщо зі збільшенням значення аргументу, відповідне значення функції зменшується.
Зростаючі й спадні функції називаються монотонними функціями (на всій області визначення, або на інтервалах) (дивись рис. 3).
Функція має максимум у точці , якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в будь-якій іншій точціз деякого околу точки.
Функція має мінімум у точці , якщо значення функції в цій точці менше, ніж її значення в будь-якій іншій точціз деякого околу точки. Максимум чи мінімум функції називається їїекстремумом.
Крива називається угнутою на інтервалі , якщо вона лежить вище дотичної, проведеної до цієї кривої в будь-якій точці, абсциса якої задовольняє умовам(дивись рис.4(а)). Крива називається опуклою на інтервалі , якщо вона лежить нижче дотичної, проведеної до цієї кривої в будь-якій точці, абсциса якої задовольняє умовам(дивись рис.4(б)). Точка неперервної кривої, що відокремлює ділянку опуклості від ділянки угнутості і навпаки, називається точкою перегину.