Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Дальневосточный Государственный Университет Путей Сообщения
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Методичка 4м

.PDF
Скачиваний:
476
Добавлен:
16.03.2016
Размер:
607.96 Кб
Скачать
☆

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Физика и теоретическая механика»

Д.С. Фалеев, Э.В. Фалеева

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Методические указания по выполнению лабораторной работы

2-е издание, переработанное

Хабаровск Издательство ДВГУПС

2014

УДК 531.3 (075.8)

ББК В 236

Ф 190

Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика и теоретическая механика» ДВГУПС

И.А. Коростелёва

Фалеев, Д.С.

Ф 190 Законы динамики вращательного движения твердого тела : метод. указания по выполнению лабораторной работы / Д.С. Фалеев, Э.В. Фалеева. 2-е изд., перераб. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС,

2014. – 18 с. : ил.

Методические указания разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины «Физика».

Содержат три основных раздела: краткое изложение теоретических вопросов, метод работы и порядок ее выполнения.

В теоретической части рассмотрены основы теории динамики вращательного движения. Экспериментальная часть посвящена проверке законов динамики вращательного движения твердого тела. Расчеты всех величин проводятся по формулам, которые даны в методе работы.

Предназначены для студентов 1-го курса инженерно-технических специальностей всех форм обучения.

УДК 531.3 (075.8)

ББК В 236

© ДВГУПС, 2000, 2014

2

ВВЕДЕНИЕ

Впредложенной лабораторной работе рассматриваются основные физические величины, характеризующие динамику вращательного движения твердого тела, – это момент инерции тела и момент силы. Здесь изложены основной закон динамики вращательного движения твердого тела и выражение для кинетической энергии вращательного движения твердого тела, приводятся моменты инерции тел правильной геометрической формы; проводится связь между моментом импульса и моментом инерции тела.

Врезультате выполнения и защиты данной лабораторной работы студент должен овладеть следующими общекультурными (ОК) и общепрофессиональными компетенциями: способностью логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, создавать тексты профессионального назначения; умением отстаивать свою точку зрения, не разрушая отношений (ОК-2); способностью использовать знания о современной физической картине мира и эволюции Вселенной, простран- ственно-временных закономерностях, строении вещества для понимания окружающего мира и явлений природы (ПК-2); способностью приобретать новые математические и естественно-научные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-3).

После выполнения лабораторной работы студент должен

знать:

●физические основы механики (основной закон динамики вращательного движения твердого тела);

●фундаментальные понятия, законы и теории вращательного движения;

уметь:

●аналитически получить выражение для момента инерции цилиндра;

●аналитически получить выражение механической работы при вращательном движении;

●провести измерения, обработать и представить результаты;

владеть:

● методами математического описания четко и осмысленно понимать все физические величины, входящие в изучаемые закономерности, и их единицы измерения.

Лабораторная работа выполняется в течение двух часов в лаборатории. В дополнение к ней дается задание по УИРС.

3

Рис. 1.1. Вращение твердого тела массой m вокруг неподвижной оси ОО
О

Лабораторная работа ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы: определить момент инерции цилиндров с помощью маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, набор грузов, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль, четыре одинаковых по массе, форме и размерам цилиндра.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Момент инерции твердых тел

О

mi

ri

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси ОО (рис. 1.1) его инерциальные свойства определяются не только массой тела, но и распределением этой массы относительно оси вращения.

Твердое тело, состоящее из материальных точек, каждая массой mi, участвуют во вращательном движении. Мерой инерции каждой материальной точки вращающегося твердого тела является момент инерции Ji. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния ri от точки до оси вращения:

J

i

m r 2 .

(1.1)

 

i i

 

Момент инерции твердого тела произвольной геометрической формы относительно неподвижной оси ОО равен алгебраической сумме моментов инерций всех его точек относительно этой оси:

J

n J

i

n m r 2

,

(1.2)

 

 

i i

 

 

i

1

 

i 1

 

 

где Ji – момент инерции i-й точки; mi – масса i-й точки; ri – расстояние i-й точки до оси вращения «ОО».

Для тел правильной геометрической формы моменты инерций описываются точными выражениями. Например: для шара массой m и радиу-

4

сом r, вращающегося относительно центральной оси, момент инерции J равен произведению 2/5 массы на квадрат радиуса шара (рис. 1.2):

J

2

mr2 .

(1.3)

5

 

 

 

О

r

c

Центральной осью вращения ОО (рис. 2) называют ось,

 

О

проходящую через центр массы тела С.

 

Рис.

1.2.

Для сплошного цилиндра массой m момент инерции от-

Шар

массой

носительно центральной оси равен произведению 1/2 массы

m, вращаю-

цилиндра на квадрат радиуса основания цилиндра (рис. 1.3):

щийся отно-

 

1

 

 

 

 

сительно

J

mr

2

.

(1.4)

 

 

 

 

 

2

 

оси

ОО.

 

 

 

 

 

 

центральной

Расчет момента инерции цилиндра относительно оси да-

Точка

С –

 

 

ется в прил. 1.

центр массы

шара

При изменении положения оси вращения относительно

 

центра масс изменяется и момент инерции тела. При параллельном переносе оси вращения справедлива теорема Штейнера. По теореме Штейнера определяют момент инерции твердого тела любой геометрической формы относительно нецентральной оси (рис. 1.4).

O

1

2

 

 

c

c

 

 

b

 

r

r

 

О

J

 

 

 

Рис. 1.3. Цилиндр

J0

 

 

 

массой m, вращаю-

Рис. 1.4. Момент

инерции

щийся относительно

цилиндра относительно цен-

центральной оси ОО.

тральной оси 11 – J0 и отно-

Точка С – центр мас-

сительно оси 22 –

J; b – рас-

сы цилиндра

стояние между осями

 

5

Теорема: «Если ось вращения, проходящую через центр массы тела, переместить параллельно самой себе на расстояние b, то момент инерции относительно этой оси будет равен алгебраической сумме момента инерции тела Jo, относительно центральной оси вращения, и произведению массы тела m на квадрат расстояния b между осями», т.е.

J J0 mb2 .

(1.5)

1.2.Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

F ma ,

(1.6)

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

 

 

О

 

Если к твердому телу массой m в точке А

 

 

 

(рис. 1.5) приложить силу F, то в результате же-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сткой связи между всеми материальными точками

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тела все они получат угловое ускорение

и со-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

ответственные линейные ускорения, как если бы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

на каждую

точку действовала сила F1 ,…, Fn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

Для каждой материальной точки можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fi

mi ai ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

где

 

ai

ri ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.5. Твердое тело,

поэтому

 

Fi

mi ri ,

(1.7)

вращающееся под дей-

где mi – масса i-й точки; – угловое ускорение;

ствием

силы F около

ri – ее расстояние до оси вращения.

 

оси ОО

 

 

 

 

 

 

 

Умножая левую и правую часть уравнения (1.7)

 

 

 

 

на ri, получают

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F r

m

r2 ,

 

(1.8)

 

 

 

 

i i

i

i

 

 

где Fi ri

Mi – момент силы – это произведение силы Fi на ее плечо ri.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения ОО (рис. 1.5) до линии действия силы F .

m r 2

J

i

– момент инерции i-й материальной точки.

i i

 

 

6

 

Выражение (1.8) можно записать так:

 

 

 

Mi

Jiε .

(1.9)

 

Просуммируем левую и правую часть (1.9) по всем точкам тела:

 

 

n Mi

ε n Ji .

 

 

i

1

i 1

 

 

Обозначим n M i через М, а

n Ji

через J, тогда

 

 

i 1

i 1

 

 

 

 

M

Jε .

(1.10)

 

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения

твердого тела. Величина M

n Mi

– геометрическая сумма всех момен-

 

i

1

 

 

тов сил, т.е. момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение .

J

n Ji – алгебраическая сумма

моментов инерции всех точек

тела.

 

i 1

 

 

 

Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

Мгновенное значение углового ускорения ε , есть первая производная

угловой скорости ω по времени t , т.е.

 

 

ε

dω

,

(1.11)

dt

 

 

 

 

где dω – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

 

M J

dω

или Mdt Jdω,

(1.12)

 

dt

 

 

 

 

где Mdt

– импульс момента силы – это произведение момента силы М на

промежуток времени dt .

 

 

Jdω

d Jω – изменение момента импульса тела,

 

Jω

L – момент импульса тела есть произведение момента инерции J

на угловую скорость ω , а d Jω есть dL.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: «Импульс момента силы Mdt , действующий на

вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL»:

 

Mdt d Jω , или Mdt = dL .

(1.13)

7

1.3. Закон сохранения момента импульса

В замкнутой системе вращающихся тел выполняется закон сохранения момента импульса: «Изменение момента импульса вращающихся тел в замкнутой системе равен нулю, т.е. L 0 или L2 L1 0 », где L1 – векторная сумма моментов импульса тел до взаимодействия; L2 – векторная сумма моментов импульса тел после взаимодействия.

1.4. Кинетическая энергия вращающегося тела

Поступательно движущееся тело обладает кинетической энергией

 

mV 2

 

W

 

,

(1.14)

 

K

2

 

 

 

 

 

где m – масса тела или мера инертности поступательно движущегося тела; V 2 – квадрат его линейной скорости.

Движение вращающегося тела характеризуется угловой скоростью , а мерой его инертности является момент инерции J. Связь линейной и уг-

ловой скоростей V

r . Записав формулу (1.14) для i-й точки, вращаю-

щейся вокруг оси ОО, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

m

2r

2

 

 

 

 

W

 

 

i

 

i

 

,

 

 

 

K

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

где

J

n m r 2 – момент инерции всех точек тела.

 

 

i i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

W вр

 

J

2

,

(1.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. кинетическая энергия вращающегося тела равна той работе, которую может совершить это тело до полной остановки.

1.5. Работа и мощность вращающихся тел

За время dt вращающееся тело совершит работу dA, равную произве-

дению момента силы M на угол поворота d

, сделанный радиусом этого

тела, т.е.

 

dA Md .

(1.16)

8

Работу, совершенную вращающимся телом за единицу времени, называют мощностью вращающегося тела N, т.е.

 

 

 

 

N

dA

,

N

 

M

d

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

d

 

– мгновенное значение угловой скорости .

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

N

M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.17)

2. МЕТОД РАБОТЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. В данной лабораторной работе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяется момент инерции маятника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обербека (рис. 2.1). Он имеет вид кре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стовины, состоящей из шкива 1, и че-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тырех, неподвижно скрепленных со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шкивом стержней 2, одинаковой длины.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

R

 

На стержнях можно укреплять ци-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линдры 3 на некоторых расстояниях от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оси вращения. На шкив наматывается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шнур,

к свободному

концу

которого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

подвешивается груз 4

весом

P

mg .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Предоставленный самому себе груз 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mg=P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

падает,

натягивая нить с силой Fн , и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через нить действует с этой силой

Fн

Рис. 2.1. Маятник Обербека: 1 – шкив;

2 – стержень; 3 – цилиндр; 4 – груз

на обод шкива 1. Момент силы Fн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

R Fн ,

 

 

 

 

 

 

(2.1)

где R – радиус шкива.

Этот момент М сообщает шкиву и всему маятнику угловое ускорение . Величина углового ускорения зависит от величины момента си-

лы М. Так как груз 4

падает равноускоренно без начальной

скорости

(V0 0), то за время t он проходит путь

 

 

 

h

at2

.

(2.2)

 

2

 

 

 

 

 

 

Отсюда

a

 

2h

 

,

(2.3)

 

t 2

 

 

 

 

 

9

а угловое ускорение

 

 

a

 

2h

.

 

(2.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

Rt 2

 

 

По второму закону Ньютона имеем ma

mg

Fн .

Следовательно,

Fн

m (g a) .

 

(2.5)

Момент силы натяжения нити

 

 

 

 

 

 

M

RFн

 

Rm (g

a) .

(2.6)

Из основного закона динамики вращательного движения твердого тела

вытекает, что Rm (g a) J , где J – момент инерции маятника.

 

Отсюда момент инерции маятника равен J

Rm (g a)

,

а так как

 

 

a

, то момент инерции маятника равен

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

R2m(g

a)

.

 

 

(2.7)

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Для определения момента инерции цилиндра относительно центральной оси J0 можно воспользоваться выражением (2.7) и теоремой Штейнера. Момент инерции маятника Обербека с цилиндрами на спицах есть J, без цилиндров момент инерции маятника – Jм. Следовательно, момент инерции

четырех цилиндров Jц будет равен разности J J м 4Jц , а момент инер-

ции одного цилиндра Jц

J

J м

. По теореме Штейнера момент инерции

 

4

 

 

 

 

цилиндра относительно любой оси параллельно центральной

 

 

Jц J0

mb2 ,

где J0 – момент инерции

цилиндра

относительно центральной оси;

m – масса цилиндра; b – расстояние между параллельными осями.

Так как цилиндр представляет собой тело правильной геометрической формы, то момент инерции цилиндра относительно центральной оси мож-

но определить, производя измерения его размеров и массы, J0

1

mR2 .

2

 

 

Для определения массы цилиндра m нужно знать плотность вещества и объем V R2 H , где R – радиус основания цилиндра и Н – высота, т.е.

m R2H .

(2.8)

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности