V. Коэффициент интенсивности напряжений (кин).
1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.
2. Частные случаи определения КИН.
3. Численные методы определения КИН.
4. Определение НДС в вершине трещины для анизотропного случая.
-
Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.
Ставится задача вычисления напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины. Данная задача сводится к решению плоской задачи теории упругости для математического разреза с граничными условиями, реализующими один из типов трещин. Рассмотрим тело с трещиной (Рис. 1), выберем систему координат с центром в вершине трещины.
Рис. 1. – Тело с трещиной.
Заменим реальную трещину математическим разрезом (Рис. 2), решение задачи удобно рассматривать в полярных координатах (центр координат в вершине трещины).
Рис. 2. – Математическая модель тела с трещиной.
Аналитические решения могут быть получены с помощью методов функций комплексного переменного. Решение в явном виде задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины существует для трех типов простых трещин. В полученных решениях для перехода от плоского-напряженного состояния к плоско-деформированному состоянию нужно сделать замену:
(5.1)
-
Для трещины нормального отрыва (тип I) решение имеет следующий вид:
;
;
;
, ; (5.2)
;
.
-
Для трещины поперечного сдвига (тип II):
;
;
;
; ; (5.3)
;
.
-
Для трещины продольного сдвига ( тип III ):
; ;
; ; (5.4)
.
, , – величины, характеризующие изменение напряженно-деформированного состояния в вершине трещины, зависящие от геометрии образца и внешних нагрузок, называются коэффициентом интенсивности напряжений соответственно для трещины нормального отрыва (I тип), поперечного (II тип) и продольного (III тип) сдвига.
При радиусе, стремящемся к нулю, ненулевые компоненты тензора напряжений стремятся к бесконечности . Это является следствием решения задачи в упругой постановке. Поля напряжений и деформаций вблизи трещины для каждого вида трещины отличаются только на величину КИН (коэффициент интенсивности напряжений).
-
Частные случаи определения кин.
Задача определения КИН с математической точки зрения не менее сложная, чем задача определения НДС. В настоящее время имеются только несколько аналитических решений для наиболее простых видов трещин (см. справочники по механике разрушений). Остальные частные случаи получены с помощью различных приближенных методов. Рассмотрим несколько частных случаев, конфигурации которых наиболее часто встречаются в технике и широко используются в инженерных расчетах.
I.Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости нагруженная на бесконечности растягивающим усилием (Рис. 3, А).
(5.5)
Формула (5.5) носит название – «решение Ирвина».
Если образец имеет ограничения по внешним размерам, то вводят поправку – , которая называется “К-тарировка”- коэффициент учитывающий форму, внешние размеры образца и характер расположения трещины:
(5.6)
II. Краевая трещина в полубесконечной плоскости (Рис.3, Б):
(5.7) формула (5.7) – «решение Бови».
-
Краевая трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, В):
, где (5.8)
, , (5.9)
здесь b – ширина полосы, l – длина трещины. Формула (5.8) – «решение Гросса».
В реальных задачах полоса имеет конечные размеры. Если , то используем «решение Гросса»; иначе необходимо учитывать величину (длину полосы).
-
Центральная трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, Г):
(5.10)
формула (5.10) с учетом условия (5.9) носит название «решения Ирвина».
, , (5.11)
формулы (5.11) –«решение Федерсена».
, (5.12)
формула (5.12) – «решение Исиды».
А Б В Г
Рис. 3. – Виды трещин:
А) Трещина нормального отрыва;
Б) Краевая трещина в полубесконечной плоскости;
В) Краевая трещина в бесконечной полосе;
Г) Центральная трещина в бесконечной полосе.
V. Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами (Рис. 4, А):
– «решение Бови». (5.13)
– «решение Ирвина». (5.14)
VI. Круглая трещина в массиве (Рис. 4, Б):
, (5.15)
где - радиус трещины. Формула (5.15) – «решение Снеддона».
VII. Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига (Рис. 4, В):
. (5.16)
VIII. Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига, нагрузка перпендикулярна листу (Рис. 4, Г):
. (5.17)
А Б
2l
В Г
Рис. 4. – Виды трещин:
А) Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами;
Б) Круглая трещина в массиве;
В) Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига;
Г) Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига.
IX. Трещина в бесконечной анизотропной плоскости (Рис. 5, А):
;
; (5.18)
.
X. Асимметричное расклинивающее усилие в плоскости под произвольным углом (Рис. 5, Б). Суперпозиция трех видов трещин.
;
; (5.19)
,
где - расстояние от оси симметрии до точки, в которой сосредоточено произвольное усилие.
а б
Рис. 5. – Виды трещин:
А) Трещина в бесконечной анизотропной плоскости;
Б) Плоская трещина с произвольным усилием, сосредоточенным на берегах трещины.
Задача определения НДС в простейшем случае сводится к следующему: из справочника берется частное решение наиболее близкое к реальному, из него находится КИН, а затем найденное значение подставляем в асимптотические формулы (5.2 – 5.4).