Практика ФКП
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Р. М. Минькова
Функции комплексного переменного в примерах и задачах
Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по программе бакалавриата и специалитета по направлениям подготовки 140800.62 – Ядерные физика и технологии;
141401.65 – Ядерные реакторы и материалы;
141405.65 – Технологии разделения изотопов и ядерное топливо;
140801.65 – Электроника и автоматика физических установок;
010900.62 – Прикладные математика и физика;
210100.62 – Электроника и наноэлектроника;
201000.62 –Биотехнические системы и технологии;
200100.62 –Приборостроение;
221700.62 – Стандартизация и метрология;
230100.62 – Информатика и вычислительная техника;
230400.62 –Информационные системы и технологии
Екатеринбург
УрФУ
2013
УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 М62
Рецензенты:
кафедра прикладной математики Уральского государственного экономического университета (зав. кафедрой, доц., канд. физ.-мат. наук Ю.Б. Мельников);
старший научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН,
проф., д-р физ.-мат. наук Е.Ф. Леликова;
Научный редактор − доц., канд. физ.-мат. наук Н.В. Чуксина
М62 Минькова, Р.М.
Функции комплексного переменного в примерах и задачах:
учебное пособие / Р.М. Минькова. Екатеринбург: УрФУ, 2013. 45 с.
ISBN
В данной работе разбирается решение типовых примеров и задач по следующим темам курса «Функции комплексного переменного»: функции комплексного переменного, их дифференцирование, интегрирование, разложение в ряды Тейлора и Лорана, вычеты и их применения, операционное исчисление.
Работа предназначена для студентов физико-технического факультета.
Библиогр.: 10 назв. Рис. 25.
УДК 517 (075.8) ББК 22.161я73
ISBN |
© Уральский федеральный университет, 2013 |
2
1. Комплексныечисла
Кратко напомним понятие комплексных чисел и действий с ними.
1.1. Определение, изображение,
формы записи комплексного числа
Комплексным числом z |
|
называют выражение вида |
z x i y, |
где x, y – дей- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствительные числа, i − так называемая мнимая единица, |
|
i2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Комплексное число z x i y изображают точкой М плоскости с |
|
|
|
|
|
|
M(x, y) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координатами x, y или ее радиус-вектором |
OM (рис. 1). Длину |
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора OM называют модулем комплексного числа z |
|
и обознача- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ют |
|
z |
|
или r : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
r |
|
OM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси ох |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называют аргументом комплексного числа z. Угол |
|
определяется неодно- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значно, с точностью до слагаемого 2 k |
k 0, 1, 2,... ; |
то значение , |
которое |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заключено между |
и , обозначают argz |
и называют главным значением ар- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гумента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Наряду с алгебраической формой z x i y комплексного числа рассмотрим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
еще две формы записи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Так как x rcos , |
|
y rsin (рис.1), |
то комплексное число |
z x i y |
|
можно |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
записать в тригонометрической форме: |
z r cos isin . |
Введя функцию |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ei cos isin , комплексное число можно записать в показательной форме: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z r ei . Итак, имеем три формы записи комплексного числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x i y r cos isin r ei . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1.1. Записать комплексные числа z1 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 i |
в тригонометриче- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ской и показательной формах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Найдем модули и аргументы этих чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
2, |
|
|
argtg |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
arg 1 i argtg1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||
Тогда z1 1 i 3 2 cos |
|
|
isin |
|
|
2e |
3 |
, |
|
z2 |
1 i |
|
|
|
|
2 cos |
|
|
|
isin |
|
|
2e . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3
1.2.Действия с комплексными числами
1.При сложении (вычитании) двух комплексных чисел складываются (соответственно вычитаются) их действительные и мнимые части.
2.Умножение двух комплексных чисел в алгебраической форме определяется по правилам умножения двучленов с учетом равенства i2 1.
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической и показа-
тельной формах их модули умножаются, а аргументы складываются:
|
z1 z2 |
|
z1 |
|
z2 |
, |
arg(z1 z2) argz1 argz2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. При делении двух комплексных чисел в алгебраической форме нужно числи-
тель и знаменатель дроби z1 умножить на число, сопряженное знаменателю. z2
При делении двух комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются, т.е.
|
z |
|
|
z1 |
|
, |
argz argz |
argz |
2 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Возведение в степень комплексного числа в алгебраической форме осуществляется по правилам возведения в степень двучлена с учетом того, что
i2 1, |
i3 i2 i i, |
i4 i2 i2 1 и т.д. |
При возведении комплексного числа z в большую степень удобно использо-
вать его тригонометрическую или показательную формы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn rn (cosn i sinn ) rnein |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. При извлечении корня из комплексного числа z |
удобно использовать три- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гонометрическую форму записи комплексного числа z r(cos isin ): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
2 k |
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
r cos |
|
|
|
n |
|
|
i sin |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0,1,2,...,n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Таким образом, корень степени n из комплексного числа z имеет |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n различных значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 1.2. Вычислить 1) |
z40, если z |
3 |
, 2) w |
|
|
|
|
|
|
|
, 3) z |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
7 24i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. 1). Воспользуемся примером 1.1 и учтем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
|
1 i |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 i |
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
argz |
|
|
|
1 3i |
arg 1 3i arg 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
arg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 i |
|
|
3 |
|
4 |
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
z40 |
|
|
|
|
|
|
40 |
220, |
|
|
argz40 |
40argz |
7 |
|
40 |
70 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
z |
40 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
70 |
isin |
|
70 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
isin |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
220 |
cos |
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
220 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
219 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2). Из примера 1.1 следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 i |
|
3 2 cos |
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При k 0 |
и при k 1 получим два значения корня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
3 i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). При извлечении корня из комплексного числа 7 24i использовать тригоно-
метрическую форму записи комплексного числа нерационально. Воспользуемся другим способом. Учтем, что 7 24i 16 9 24i 42 3i 2 2 4 3i 4 3i 2 . Тогда
z 7 24i 4 3i 2 4 3i .
Замечание. Если Вы не смогли выделить полный квадрат в подкоренном вы-
ражении, то вычислить 7 24i можно по определению: 7 24i x i y , где x, y действительные числа. Для их отыскания возведём в квадрат обе части ра-
венства и приравняем действительные и мнимые части комплексных чисел:
|
|
7 24i x i y 2 |
x2 |
2xyi y2 |
|
|
|
2 |
y |
2 |
7, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy 12. |
|
|
|
|||||
Решим получившуюся систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 y2 7, |
y |
12 |
, x |
2 |
144 |
|
x |
4 |
7x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
4, |
y1 |
3, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
144 0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
xy 12, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
4, |
y2 |
3. |
||
Таким образом, |
|
|
имеет два значения 4 3i |
и 4 3i . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
7 24i |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 1.3. Решить уравнение z2 2 i z 7i 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления корней квадратного урав-
нения и результатом предыдущего примера:
z |
2 i (2 i)2 28i 4 |
|
2 i 7 24i |
|
2 i (4 3i)2 |
|
2 i (4 3i) |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1,2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
2 i 4 3i |
3 i, |
z |
|
|
2 i 4 3i |
1 2i. |
||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.4. Решить систему уравнений |
|
|
(2 i)z1 (3 i)z2 4 2i, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 2i)z1 (2 3i)z2 5i. |
Решение. Воспользуемся при решении системы методом Крамера. Вычислим
определители: |
|
|
|
2 i |
3 i |
|
|
2 i 2 3i 5 2i 3 i 12 19i, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 2i |
2 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
4 2i |
3 i |
|
|
|
4 2i 2 3i 3 i 5i 7 31i, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5i |
2 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 i |
4 2i |
|
2 i 5i 4 2i 5 2i 19 12i . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 2i |
5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
7 31i |
|
|
|
7 31i 12 19i |
|
505 505i |
1 i, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
12 19i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 19i 12 19i |
505 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
19 12i |
|
|
|
19i2 12i |
|
i |
12 19i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
12 19i |
|
|
12 19i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 19i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 1.5. Указать, какие линии определяются следующими уравнениями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) Rez2 1; 2) z z Rei ; 3) |
|
z 3 2i |
|
3; 4) |
|
z 2i |
|
|
|
z 2i |
|
6, 5) |
|
|
z 3 2i |
|
|
|
z |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. 1). Выделим действительную часть функции z2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rez2 Re x i y 2 Re x2 |
2xyi y2 x2 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда уравнение Rez2 1 примет вид x2 |
y2 1. Это уравнение определяет рав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ностороннюю гиперболу (a b 1) с центром в точке (0,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). Запишем равенство z z0 Rei в виде: |
x i y x0 i y0 R(cos isin ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
Rcos , |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Приравняем действительные и мнимые части: |
|
|
|
|
|
Rsin . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
|
z0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2
6
Если [0,2 ) , то эти уравнения определяют окружность x x 2 y y 2 |
R2 |
с |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||
центром вточке x0, y0 радиуса R (рис.2); если 0, , то урав- |
|
|
|
|||||||||||||||
нения определяют верхнюю половину окружности. |
|
|
|
z |
|
3 |
||||||||||||
Так как |
|
z z0 |
|
|
есть расстояние точек |
z от точки z0 и оно |
-2 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|||
постоянно (равноR), то уравнение окружности с центром в точке |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
z0 радиуса R можно записать и в другом виде |
|
z z0 |
|
R. |
|
Рис.3 |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
Итак, уравнение окружности с центром в точке z0 радиуса R имеет вид |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z z Rei , [0,2 ) |
или |
z z |
0 |
R. |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). Уравнение |
z 3 2i |
|
3 запишем в виде |
|
z 3 2i |
3; следовательно, оно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяет окружность с центром в точке z0 3 2i |
радиуса R 3 (рис. 3). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4). В уравнении |
|
|
|
z 2i |
|
|
|
z 2i |
|
|
6 модуль |
|
|
|
|
z 2i |
|
|
|
есть расстояние точки z от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 2i, а модуль |
|
|
z 2i |
|
|
|
|
z 2i |
|
|
|
есть расстояние точки z от |
z |
3i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
z1 2i . Следовательно, |
|
|
уравнение |
|
z 2i |
|
|
|
z 2i |
|
|
6 |
опреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляет множество точек z, сумма расстояний от которых до двух за- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данных точек z0 2i и z1 2i есть величина постоянная, равная 6 и |
|
z1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
большая, чем расстояние между z0 |
и |
z1. |
|
Такое множество точек |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Рис. 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
есть эллипс с фокусами в точках z0, |
z1, |
причем длина оси эллипса, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на которой лежат фокусы, равна 6 (рис. 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5). В уравнении |
|
z 3 2i |
|
|
|
z |
|
|
|
модуль |
|
|
z 3 2i |
|
|
|
|
|
|
есть расстояние |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точки |
z |
от точки |
|
z0 3 2i, а модуль |
|
|
z |
|
|
|
|
z 0 |
|
|
есть расстояние |
-2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
z |
от точки |
|
z1 0. Поэтому уравнение |
|
|
z 3 2i |
|
|
|
z |
|
опреде- |
Рис.5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляет множество точек z |
|
равноудаленных от точек z0 3 2i |
и z1 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это множество точек есть серединный перпендикуляр к отрезку z0z1 |
(рис. 5). |
3
z0
2. Элементарныефункциикомплексногопеременного
Функции e z, sin z, cosz
Функции ez, sin z, cosz для любого действительного z определяются как суммы следующих рядов:
7
|
ez 1 |
|
z |
|
|
z2 |
|
z3 |
|
z4 |
|
|
|
|
|
(2.1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1! |
2! |
3! |
4! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin z |
z |
|
z3 |
|
z5 |
|
z7 |
|
|
|
|
|
(2.2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1! |
|
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cosz 1 |
z2 |
|
|
z4 |
|
|
z6 |
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Связь между функциями e z, sin z, cosz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cosz |
eiz e iz |
|
|
|
sinz |
eiz e iz |
|
|
|
||||||||||||||||||||
eiz cosz isinz |
, |
, |
. |
(2.4) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти формулы называют формулами Эйлера.
Свойства функций e z, sinz, cosz
1). e z1 z2 e z1 ez2 .
2). Функция e z |
имеет период |
T 2 i. |
|
|
||||||||||||||
3). Функции sin z, cosz |
имеют период T 2 . |
|||||||||||||||||
4). Функция sin z − нечетная, функция cosz |
– четная. |
|||||||||||||||||
5). а) sin2 z cos2 z 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) sin z |
z |
2 |
|
sin z |
cosz |
2 |
cosz |
sin z |
2 |
, |
г) |
sin2z 2sin z cosz , |
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos2z cos2 z sin2 z. |
||||||
в) cos z |
z |
2 |
|
cosz |
|
cosz |
2 |
sin z |
sin z |
2 |
, |
д) |
||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
6). Функции sin z, cosz |
− не ограничены на комплексной плоскости. |
Обратите внимание на то, что свойства I), 3), 4), 5) функций ez , sin z, cosz такие же, как для соответствующих функций действительной переменной. Свойства же 2) и 6) имеют место только для функций комплексной переменной.
Перечисленные свойства используются при вычислении значений функций e z, sin z, cosz и при решении уравнений, содержащих эти функции.
Пример 2.1. Вычислить eln5 3 i/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся свойством 1), |
основным логарифмическим тожде- |
|||||||
ством и одной из формул (2.4): |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
eln5 3 i/2 eln5 e3 i/2 |
|
|
|
isin |
5i . |
|||
5 |
cos |
|
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Гиперболические функции
Для комплексного аргумента гиперболические синус и косинус вводятся так же, как для действительного аргумента, т.е.
|
shz ez e z |
, |
chz |
ez e z |
|
. |
(2.5) |
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Перечислим свойства функций sh z, |
ch z . |
|
1). Функции sh z, ch z имеют период 2 i (так же, как функция ez ).
2). Для комплексного аргумента существует следующая связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
8
cos iz chz, |
sin iz ishz, |
(2.6) |
|
ch iz cosz, |
sh iz isinz. |
||
|
|||
|
|
|
3). Для комплексного аргумента (как и для действительного): ch2 z sh2 z 1,
sh z1 z2 sh z1 ch z2 ch z1 sh z2,
ch z1 z2 ch z1 ch z2 sh z1 sh z2,
sh2z 2sh zch z, |
ch2z ch2 z sh2 z. |
|||
|
|
i |
||
Пример 2.2. Вычислить sin iln3 , ch 1 |
|
. |
||
2 |
||||
|
|
|
Решение. Воспользуемся свойствами функций sinz, cosz, shz, chz :
sin iln3 sin cos iln3 cos sin iln3 sin iln3
|
|
|
i sh ln3 i |
eln3 e ln3 |
i |
|
3 1/3 |
|
4 |
i; |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
||||||||||
|
i |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ish1 sin |
|
ish1. |
||||||||||||
ch 1 |
|
|
ch1 ch |
|
sh1 sh |
|
ch1 cos |
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Логарифмическая функция
Ln z ln |
z |
i arg z 2 k , |
k 0, 1, 2, |
(2.7) |
|
|
|
|
|
Значение этой многозначной функции при k 0 называют главным значением логарифма и обозначают ln z .
На функцию Ln z распространяется ряд свойств логарифма действительного переменного:
I) Ln z z |
|
Ln z Ln z |
|
, |
2) Ln |
|
z1 |
|
Ln z Ln z |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
, |
||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
||||||
3) Ln z1z2 z2 Ln z1, |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|||
|
|
4) eLnz z . |
|
|
Обобщенные степенная и показательная функции
Степенная функция w z a с произвольным комплексным показателем a i определяется равенством
|
w z a eLnza e a Lnz |
. |
|
|
|
|
|||||||||
Показательная функция |
w a z с произвольным комплексным основани- |
||||||||||||||
ем a i определяется равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
w a z eLna z |
e z Lna |
. |
|
|
|
|
||||||||
Пример 2.3. Вычислить 1) Lni, |
2) 1i , |
|
|
|
1 i |
2 i |
|
|
|
|
|||||
|
3) |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. 1). Вычислим модуль и аргумент для z i: |
|
i |
|
1, argi / 2. Тогда |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
Lni ln1 i /2 2 k |
i |
1 2k |
, k 0, 1, 2,.... |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главное значение логарифма есть lni i /2.
2). Запишем w 1i |
в виде w eLn1i |
ei Ln1 |
ei (ln1 2 ki) e 2 k , |
|
k 0, 1, 2,..... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
1, arg |
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3). Учитывая, что |
|
|
2 |
|
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
1 i |
2i |
|
|
|
2i ln |
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
ln1 i |
4 |
|
2 |
|
|
k |
|
|
|
2 |
4 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
w |
1 |
|
|
e |
|
|
e |
|
|
2 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
, |
где k 0, 1, 2,... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2.4. Решить уравнение 4cosz 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Используя равенство cosz |
eiz e iz |
|
, запишем уравнение в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(eiz e iz) 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Умножив это равенство на |
eiz , |
получим 2e2iz 5eiz |
2 0 |
|
или 2w2 5w 2 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где w eiz . Решения этого квадратного уравнения w 2, |
|
w |
|
1 |
, |
т.е. eiz1 2 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 i |
|
|
|||||
eiz2 |
|
1 |
. Прологарифмируем эти равенства и учтем, что |
1 |
|
i : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 1 2k iln2, |
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
iz1 Ln( 2) ln2 i( 2 k), |
|
|
|
k 0, 1, 2,...; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
iz2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
i ( 2 n) ln2 i (1 2n), |
|
z2 1 2n iln2, |
n 0, 1, 2,.... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ln |
|
|
|
ln |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, можно решение уравнения записать в виде z (2k 1) i ln2, |
k 0, 1, 2,... |
Обратные тригонометрические и гиперболические функции
По определению
w Arcsin z, если sinw z; |
w Arccosz, если cosw z ; |
||||
w Arctgz, |
если tgw z ; |
w Arcctgz , если ctgw z ; |
|||
w Arcsh z , |
если shw z ; |
w Arcch z , если chw z ; |
|||
w Arcth z , |
если th w z; |
|
w Arccth z , если cthw z. |
||
Пример 2.5. Вычислить Arcsin i . |
|
|
|||
Решение.Изусловия Arcsin i z |
имеем: |
|
|
||
sinz i |
|
eiz e iz |
|
i eiz e iz 2 . |
|
|
2i |
|
|||
|
|
|
|
|
Умножив последнее равенство на eiz
e2iz 2eiz 1 0 eiz
Учтем, что
,получим
1 2 iz Ln 1 2 .
1 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1, |
|
arg 1 |
2 |
|
0; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg 1 |
|
|
|
. |
||||
1 |
|
|
2 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1, |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i arg 1 |
|
2 k ln |
|
|
||||||||||||||
iz1 Ln 1 |
|
|
ln |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 ki; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
iz2 Ln 1 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 2 k i, |
k 0, 1, 2,... |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|