Министерство образования Российской федерации
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет–УПИ»
Факультет экономики и управления
Кафедра моделирования управляемых систем
Теоретические вопросы для подготовки к экзамену по математике (1 курс, 1 семестр, вшэм, 2015-2016)
Предел функции в точке. Геометрическая интерпретация.
Первый замечательный предел для функций (доказательство).
Предел функции в бесконечности. Геометрическая интерпретация.
Второй замечательный предел для функций. Задачи.
Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке (доказательство).
Бесконечно малые и бесконечно большие функции (примеры). Их свойства.
Свойства пределов функции в точке: теорема о единственности предела (доказательство); теорема об ограниченности функции, имеющей предел (доказательство); теорема о неравенстве пределов; теорема о промежуточной функции (доказательство).
Арифметические свойства пределов функции (доказательство 2-х свойств).
Сравнение функций. Теоремы об эквивалентных функциях (доказательство).
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных функций (доказательство двух свойств).
Классификация точек разрыва (с примерами). Определение монотонной и ограниченной функций. Задачи.
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке). Формулировка.
Понятие односторонней непрерывности. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции). Формулировка.
Теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции. Ее следствия (доказательство).
Производная функции в точке. Геометрический смысл. Связь с существованием касательной (доказательство). Уравнения касательной (и нормали) (вывод).
Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь с существованием производной и со свойством непрерывности функции в точке (доказательство).
Правила вычисления производных суммы; произведения и частного (два с доказательством).
Дифференцирование сложной функции (доказательство).
Дифференцирование обратной функции (доказательство). Вывести формулы для производных обратных тригонометрических функций.
Понятие первого дифференциала. Геометрический смысл. Дифференциал и приближенные вычисления (доказательство).
Производные высших порядков. Формула Лейбница. Задачи.
Монотонность функции в точке и на множестве. Достаточное условие монотонности функции в точке (доказательство).
Определение точки локального экстремума. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума) (доказательство).
Теорема Ролля о среднем. Геометрический смысл (доказательство).
Теорема Лагранжа о среднем. Геометрический смысл (доказательство).
Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке (доказательство).
Правило Бернулли-Лопиталя. Задачи.
Формула Тейлора для многочленов (доказательство).
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Формула Тейлора для элементарных функций. Задачи.
Различные формулировки достаточных условий локального экстремума функции в точке.
Понятие точки перегиба. Теорема о необходимом и достаточном условиях существования точки перегиба (доказательство).
Асимптоты. Правило нахождения наклонных асимптот (доказательство).
Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом. Свойства неопределенного интеграла (доказательство). Теорема о существовании неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Методы вычисления неопределенного интеграла: интегрирование по частям (доказательство), замена переменной (доказательство), интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
Интегрирование тригонометрических функций. Рационализирующие подстановки.