ANTIDEMIDOVICH-00-MAIN
.pdfБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ кафедра теории функции
ПРАКТИКА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
.
Минск, 2014
Содержание
Введение |
3 |
|
1 |
Вещественные числа |
4 |
2 |
Теория последовательностей |
7 |
3 |
Предел функций |
12 |
Список литературы |
16 |
2
Введение
Данный материал составлен из решений индивидуальных заданий студентов механико математического факультета БГУ. Задания для студентов подбирались из сборника задач [1].
ВНИМАНИЕ!!!
ДАННЫЙ ТЕКСТ ЕЩЕ СОСТАВЛЕН (В ОНОВНОМ) ДВОЕЧНИКАМИ И ПРОГУЛЬЩИКАМИ ИЗ 5 ГРУППЫ!!!
ОН ЕЕ НЕ ПРОШЕЛ ПРОВЕРКУ И СОДЕРЖИТ МНОГО ОШИБОК И ОПЕЧАТОК!!!
3
1Вещественные числа
Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального числа n, достаточно доказать:
1)что эта теорема справедлива для n = 1 и
2)что если эта теорема справедлива для какого-нибудь натурального числа n, то она справедлива также и для следующего натурального числа n + 1.
Сечение. Разбиение рациональных чисел на два класса A и B называется сечением,
если выполнены следующие условия:
1)оба класса не пусты;
2)каждое рациональное число попадает в один и только в один класс и
3)любое число, принадлежащего классу A (нижний класс), меньше произвольного
числа, принадлежащего классу B (верхний класс). Сечение A=B определяет:
а) рациональное число, если или нижний класс A имеет наибольшее число или же верхний класс B имеет наименьшее число, и
б) иррациональное число, если класс A не имеет наибольшего числа, а класс B
наименьшего числа.
Числа рациональные и иррациональные носят название вещественных или действительных.
Абсолютная ввеличина. Если x вещественное число, то абсолютной величиной jxj называется неотрицательное число, определяемое следующими условиями:
jxj =
x; åñëè x < 0; x; åñëè x 0:
Для любых вещественных числе x и y имеет место неравенство
jxj jyj jx + yj jxj + jyj :
Верхняя и нижняя грани. Пусть X=fxg ограниченное множество вещественных
чисел. Число
m = inf fxg
называется нижней гранью множества X, если:
1)x 2 X удовлетворяет неравенству x m;
2)каково бы ни было " > 0, существует x0 2 X такое, что x0 < m + ".
Аналогично число
M = sup fxg
называется верхней гранью множества X,если:
1)каждое x 2 X удовлетворяет неравенству x M,
2)для любого " > 0 существует x00 2 X такое, что x00 > M ".
4
Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить, что inf fxg = 1. Если же множество X не ограничено сверху, то полагают sup fxg = +1.
Если a (a 6= 0) есть точное значение измеряемой величины, а x приближенное значение этой величины, то = jx aj назы-
вается абсолютной погрешностью, а = jaj относительной погрешностью измеряемой величины.
Ï Ð È Ì Å Ð 1 (1) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:
1 + 2 + : : : + n = |
n(n + 1) |
: |
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
Решение. Для n = 1 равенство (1), очевидно, верно. |
|
|
|
|
|||||
Предположим, что равенство верно для n = k: |
|
|
|
|
|||||
1 + 2 + : : : + k = |
k(k + 1) |
|
: |
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
Покажем справедливость (1) при n = k + 1, используя предположение (2): |
|||||||||
1 + 2 + : : : + k + (k + 1) = |
k(k + 1) |
+ k + 1 = |
(k + 1)(k + 2) |
: |
|||||
|
2 |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ï Ð È Ì Å Ð 2 (2) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:
12 + 22 + 32 + : : : + n2 = |
n(n + 1)(2n + 1) |
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Нетрудно убедиться, что при n = 1 необходимое равенство верно. |
|
|||||||||
Предположим, что оно верно также для n = k: |
k + 2 |
|
|
|
|
|||||
12 + 22 + 32 + : : : + k2 = k(k + 1)(2k + 1) = k |
(k + 1) |
: |
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Покажем справедливость равенства для n = k + 1. Для этого преобразуем его к виду
12 + 22 + 32 + : : : + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1) = 6
(k + 1) k + |
3 |
(k + 2) |
||
2 |
||||
|
|
: |
||
|
|
|
||
3 |
|
|
||
|
|
|
5
и, подставив выражение (3), получим
(12 + 22 + 32 + : : : + k2) + (k + 1)2 = k |
k + 2 |
(k + 1) |
+ (k + 1)2 |
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Раскрыв скобки и проведя преобразования, получаем верное равенство |
|
||||||||||||
(k + 1) k + 2 (k + 2) = |
(k + 1) |
k + 2 |
(k + 2): |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р 3 (3) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:
13 + 23 + : : : + n3 = (1 + 2 + : : : + n)2: |
(4) |
Решение. При n = 1 равенство 13 = 12 очевидно. Предположим, что (4) верно для
n = k: |
|
13 + 23 + : : : + k3 = (1 + 2 + : : : + k)2: |
(5) |
Предполагая справедливость последнего равенства при n = k, покажем справедливость
(4) при n = k + 1 с помощью цепочки элементарных преобразований, используя (5):
13 + 23 + : : : + k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k + (k + 1))2;
(1 + 2 + : : : + k)2 + (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k + (k + 1))2; (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k + (k + 1))2 (1 + 2 + : : : + k)2; (k + 1)3 = (k + 1) (2 (1 + 2 + 3 + : : : + k) + (k + 1)); (k + 1)2 = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k) + (k + 1);
(k + 1)2 (k + 1) = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k); (k + 1) (k + 1 1) = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k); (k + 1) k = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k);
k(k + 1) = 1 + 2 + 3 + : : : + k: 2
П Р И М Е Р 4 (4) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:
1 + 2 + 22 + : : : + 2n 1 = 2n 1
6
Решение. Для n = 1 необходимое равенство 1 = 21 1, очевидно, верно. Предположим, что оно верно и для n = k:
1 + 2 + 22 + : : : + 2k 1 = 2k 1: |
(6) |
Докажем, что наше равенство справедливо для n = k + 1: |
|
(1 + 2 + 22 + : : : + 2k 1) + 2k = 2k+1 1 |
|
Выражение в скобках можно заменить на правую часть выражения (6) |
|
2k 1 + 2k = 2k+1 1; 2 2k 1 = 2 2k 1: |
|
2Теория последовательностей
Понятие предела последовательности. Говорят, что последовательность
x1; x2; : : : ; xn; : : : ;
или иначе xn (n = 1; 2; : : :) имеет своим пределом число a (короче сходится к a), то есть
lim xn = a;
n!1
если для любого " > 0 существует число N = N(") такое, что
jxn aj < "
при n > N. В частности, xn называется бесконечно малой, если
lim xn = 0:
n!1
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Признаки существования предела.
1)Åñëè yn xn zn è limn!1 yn = limn!1 zn = c, òî limn!1 xn = c.
2)Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3)Критерий Коши. Для существования предела последовательности необходимо и
достаточно, чтобы для любого " > 0 существовало число N = N(") такое, что
jxn xn + pj < "
если только n > N и p > 0.
Основные теоремы и пределах последовательностей. Предполагая,что суще- ствуют limn!1 xn è limn!1 yn, имеем:
1) åñëè xn < yn, òî limn!1 xn limn!1 yn;
7
2) limn!1 (xn yn) = limn!1 xn limn!1 yn; 3) limn!1 (xn yn) = limn!1 xn limn!1 yn;
4) |
xn |
= |
|
limn!1 xn |
, åñëè |
. |
||||
y |
|
|
||||||||
nlim |
n |
|
lim |
n!1 |
y |
n |
|
limn!1 yn 6= 0 |
||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
Число e. Последовательность
1 + n1 n
имеет конечный предел
lim 1 + 1 n = e = 2; 7182818284 : : : :
n!1 n
Бесконечный предел. Символическая запись limn!1 xn = 1 обозначает ,что, каково бы ни было E > 0 ,существует число N = N(E) такое,что jxnj > E ïðè n > N.
Предельная точка. Число (или символ 1) называется частичным пределом (пре-
дельной точкой) данной последовательности xn (n = 1; 2; : : :), если существует ее после-
довательность xp1; xp2; : : : ; xpn; : : : (1 p1 < p2 < : : :) такая, что limn!1 xpn = .
Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный ча- стичный предел (принцип Больцано Вейерштрасса). Если этот частичный предел единственный, то он же является конечным пределом данной последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последовательности xn
limn!1xn называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее limn!1xn называется верхним пределом этой последовательности.
Равенство
limn!1xn = limn!1xn
является необходимым и достаточным условием существования предела (конечного или бесконечного) последовательности xn.
Ï Ð È Ì Å Ð 5 (46) Определить значение выражения:
lim 10000n:
x!1 n2 + 1
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на n
lim |
10000n |
= lim |
10000 |
= 0: |
||
|
|
|
|
|||
2 |
|
1 |
|
|||
x!1 n + 1 |
x!1 n + n |
|
Ï Ð È Ì Å Ð 6 (47) Определить значение выражения:
pp
lim n + 1 n:
x!1
8
Решение. Домножив выражение на сопряженное, получим
x!1 |
+ 1 |
= x!1 |
|
|
pn |
|
1 + |
pn |
|
|
|
x!1 pn + 1 + pn |
= 0 |
|||||||||||||||
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||
lim p |
n |
|
p |
n |
|
lim |
|
pn + 1 pn pn + 1 + pn |
|
|
= lim |
1 |
|
|
: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï Ð È Ì Å Ð 7 (48) Определить значение выражения:
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n2 sin n! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x!1 |
n + 1 |
|
|||||||||
Решение. Òàê êàê j sin n!j 1, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= xlim n1=3 + n 2=3 |
= 0 |
||||||
p3 |
n + 1 |
xlim n + 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и предел (7) равен нулю. |
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï Ð È Ì Å Ð 8 (49) Определить значение выражения:
lim |
( 2)n |
+ 3n |
: |
|
|
||||
( 2)n+1 |
+ 3n+1 |
|||
x!1 |
|
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на 3n+1, получим
|
|
|
|
lim |
|
|
( 2)n + 3n |
= lim |
( 32 )n |
31 + 31 |
|
= |
|
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
x!1 |
|
n+1 |
+ 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x!1 ( 2) |
+ 3 |
|
|
( 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ï Ð È Ì Å Ð 9 (50) Определить значение выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xlim |
|
1 + a + a2 + : : : + an |
(jaj < 1; jbj < 1) : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + b + b2 + : : : + bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Так как jaj < 1 и jbj < 1, мы можем |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воспользоваться формулой суммы |
|||||||||||||||||||
убывающей геометрической прогрессии. Далее, замечая что a |
|
|
! 0 è b |
|
|
! 0 ïðè n ! 1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + a + a |
2 |
+ : : : + a |
n |
|
|
1 + a + a |
2 |
+ : : : + a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 an+1 |
|
|
1 b |
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
= lim |
|
1 |
a |
|
|
= |
: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n+1 |
|
|
||||||||||||||||||
x!1 1 + b + b |
2 |
+ : : : + b |
x!1 |
|
1 + b + b |
+ : : : + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!1 1 b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Ï Ð È Ì Å Ð 10 (51) Определить значение выражения: |
|
|
|
|
1 b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2 |
n2 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
+ |
|
2 |
+ : : : + |
n 1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Решение. Применим формулу суммы арифметической прогрессии
|
|
|
|
|
n!1 n2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
n!1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
+ |
|
2 |
+ : : : + |
|
n |
|
1 |
|
|
|
= lim |
|
1 |
(1 + 2 + : : : + (n |
|
1)) = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
(n |
|
1) = lim |
n 1 |
= |
|
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Ï Ð È Ì Å Ð 11 (52) Определить значение выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
: : : |
|
|
( |
|
|
|
1)(n 1) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n |
|
n |
+ n |
|
|
+ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ERROR!!! ] |
1 |
||||||
Решение. Применим формулу |
суммы арифметической прогрессии |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
1 |
|
|
2 |
|
+ |
|
3 |
|
|
|
: : : + |
|
( 1)(n 1) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
(1 |
|
2) + 3 |
|
: : : + ( |
|
1)(n 1) |
n = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n!1 nj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = nlim |
|
|
|
|
|
|
= nlim |
|
|
|
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ï Ð È Ì Å Ð 12 (53) Определить значение выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
12 |
+ |
22 |
+ : : : + |
(n 1)2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n3 |
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Применим формулу суммы арифметической прогрессии [ ERROR!!! ]2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
12 |
|
+ |
22 |
+ : : : + |
(n 1)2 |
|
|
|
= lim |
1 |
|
|
|
|
[1 + 22 + : : : + (n |
|
|
1)2] = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!1 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
1 |
|
|
|
n(n + 1)(2n + 1) |
|
= lim |
|
|
1 |
|
|
|
(1 + n1 ) (2 + n1 ) |
= lim |
1 2 |
|
= |
1 |
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ï Ð È Ì Å Ð 13 (79) Доказать сходимость последовательности: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn = 1 2 1 4 |
: : : 1 2n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Заметим, что |
|
1 |
1 |
< 1, следовательно |
xn |
> xn+1 |
è xn |
монотонно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n |
убывает. Далее, из неравенства xn > 0 следует ограниченность снизу xn. Из монотонности и ограниченности xn следует сходимость.
1Надо рассмотреть 2 случая
2Это НЕ арифметическая прогрессия
10