- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ
Казахстан
МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рысбайулы Б.
О П О Р Н Ы Й К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й
По дисциплине Численные методы
.
(Для студентов специальности "математическое и компьютерное моделирование" )
АЛМАТЫ 2014
1. Приближенное вычисление определенного интеграла
В настоящем пункте рассматриваются способы приближенного вычисления определенных интегралов
Введем на [а, в] равномерную сетку с шагом h, т.е. множества точек
и представим интеграл в виде суммы интегралов по частным отрезкам:
Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [а, в] достаточно построить квадратичную формулу для на частном отрезке [хi-1, хi].
1.1. Формула прямоугольников
Заменим интеграл Si выражением Геометрический такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции АВСД заменяется площадью прямоугольника АВС1Д1 (см. рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим формулу
(26)
которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке [хi-1, хi].
Погрешность метода (26) определяется величиной
которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем ψi в виде
и воспользуемся разложением
Обозначая оценим ψi следующим образом:
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива формула
т.е. формула имеет погрешность О(h3) при h→0.
Суммируя равенства (26) по I от 1 до N, получим составную формулу прямоугольников
Погрешность этой формулы
Отсюда, обозначая получим
т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина О(h2). В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.
Определение. Приближенное равенство
.
Называется квадратурной формулой.
1.2. Формула трапеции
На частичном отрезке (хi-1, xi) площадь криволинейной трапеции АВСД заменяется площадью прямоугольной трапеции АВСД (рис. 2).
Рис. 2
Тогда
Для оценки погрешности
Представим его в виде
Отсюда получим
Составная формула трапеции имеет вид
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
Таким образом, формула трапеции имеет вид, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.
Применение формулы трапеции или прямоугольников требует оценки второй производной на отрезке [а, в]. Если такая оценка затруднительна (или вообще невозможно, например, в случае функции определяемых опытным путем), то в предположений малого изменения (или монотонности) второй производнойможно во всех полученных оценках заменить множителя М2h2 наибольшей величиной
Отсюда видно, что формула прямоугольников и трапеции дает достаточную точность только при достаточно малых разностях второго порядка ∆2Уk (а именно, когда произведения не превосходят допустимой погрешности расчета).
Для уточнения величины интеграла можно использовать, то обстоятельство, что с уменьшением шага h в два раза погрешность формулы трапеций уменьшается примерно в четыре раза. Отсюда следует, что совпадающие знаки в значениях интеграла, вычисленных с шагом h и можно считать верным. Действительно, если погрешность значения интеграла, вычисленного с шагом обозначить через ε, то погрешность значения интеграла, вычисленного с шагом h, будет приближенно равна 4ε, и значить, разность указанных значений интеграла будет не менее чем 3ε. Поэтому из совпадения m десятичных знаков у рассматриваемых значений интеграла можно заключить, что погрешность , а это означает, что в значений интеграла вычисленном с шагом, всеm десятичных знаков верны (здесь предполагается, что погрешность исходных данных пренебрежимо мало).