Матфизика Мурга Е.В
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНБАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
О. В. Мурга
РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ
Навчальний посібник
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
Алчевськ
2009
УДК 53:51
ББК В 311
М 91
Мурга Олена Владиславівна – ст. викл. кафедри радіофізики Донбаського державного технічного університету ( м. Алчевськ).
Рецензенти:
І. В. Жихарєв – канд. фіз.- мат. наук, зав. кафедри фізики Луганського національного педагогічного університету ім. Тараса Шевченка (м. Луганськ);
В. І. Різун – канд. фіз.-мат. наук, проф. кафедри математичного аналізу Східноукраїнського національного університету ім. В. Даля (м. Луганськ).
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів
(Лист № 14/18.2-1145 від 01.06.2004)
М 91 Мурга О. В.
Рівняння математичної фізики: Навч. посіб. / О. В. Мурга – Алчевськ: ДонДТУ, 2009 – 154 с.
ISBN 978-966-310-222-1
Навчальний посібник містить короткі відомості про теорію диференціальних рівнянь з частинними похідними, методику приведення таких рівнянь до канонічного вигляду. Дані уявлення про постановку задач для рівнянь в частинних похідних, що описує фізичні процеси, висловлені методи рішення цих задач. Включені задачі для самостійної роботи.
Призначені для студентів спеціальності радіофізика і електроніка.
|
УДК 53:51 |
|
ББК В 311 |
|
© О. В. Мурга, 2009 |
|
© ДонДТУ, 2009 |
ISBN 978-966-310-222-1 |
© дизайн обкладинки |
О. М. Дика, 2009 |
|
|
2 |
Рівняння математичної фізики виникли з розгляду найважливіших завдань, таких, як розповсюдження звуку в газах,
хвиль в рідинах, тепло у фізичних тілах. У наш час активно вивчаються такі явища, як перенесення нейтронів в атомних реакторах,
гравітація і електромагнітні ефекти, походження і розвиток Всесвіту.
Всі ці розділи фізики створюють математичні моделі, які приводять до рівнянь з приватними похідними. Отже, рівняння математичної фізики
– це розділ математики, який безпосередньо пов'язаний з вивченням складних явищ природи. Методи математичної фізики складають частину більш загальної теорії рівнянь з приватними похідними.
Багато завдань теорії і практики приводять до таких рівнянь. Число рівнянь обмежене, але кожне з них описує широкий круг явищ природи. Ця універсальність методів математичної фізики підкреслюється багатьма ученими.
Даний посібник містить великий матеріал для проведення практичних занять і повністю відповідає програмі курсу «Методи математичної фізики», що читається в ДонДТУ для спеціальності
«Радіофізика і електроніка». Його основна мета – допомогти студентам набути необхідних практичних навичок застосування теоретичних знань, отриманих на лекціях. Для цього в кожному розділі приведені приклади рішення задач, що ілюструють теоретичний матеріал, потім завдання і вправи з відповідями для самостійного розв’язання. Велика увага приділена методу розділення змінних.
Посібник написано на основі десятирічного досвіду викладання даного курсу для студентів-радіофізиків. Воно може бути корисним всім студентам технічних спеціальностей, а також всім особам, що цікавляться математичною фізикою і прикладною математикою.
3
1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
Диференціальні рівняння математичної фізики – це рівняння з частинними похідними, що зустрічаються при розв’язанні фізичних задач механіки, електрики, магнетизму, тощо. Будь-яку задачу математичної фізики можна розглядати як задачу розв’язання деякого диференціального рівняння з частинними похідними при певних додаткових умовах. Важливе значення при розгляданні фізичних процесів займає коректна постановка задач.
Поставити задачу означає:
1)вибрати вдало функцію (величину), яка характеризувала б даний фізичний процес (при цьому реальний фізичний процес замінюють деяким ідеальним процесом, але так, щоб зберігались основні властивості реального процесу), вибрати систему координат в залежності від умов задачі, але так, щоб шукана функція залежала від мінімальної кількості змінних;
2)використовуючи фізичні закони і співвідношення, скласти диференціальне рівняння для функції, що характеризує даний процес;
3)вставити початкові умови для шуканої функції, тобто записати значення фізичних характеристик, що описують даний процес в початковий момент;
4)сформулювати крайові умови, тобто записати умови процесу на межі тіла, якщо розглядаємо нескінченний об’єм, то записуємо умови поведінки процесу на нескінченості.
Для ілюстрації основних методів математичної фізики
розглянемо диференціальні рівняння з частинними похідними другого
порядку і однією невідомою функцією.
4
Рівнянням в приватних похідних називають співвідношення
Ф(x,y,u, |
u |
, |
u |
, |
2u |
, |
2u |
,...) 0 |
(1.1) |
|
x |
y |
x2 |
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
що зв’язує незалежні змінні х, у, іскому функцію u = u(x,y) і її частинні похідні. Порядок, що відповідає старшій похідній рівняння називають порядком рівняння.
Функція u(x,y) безперервна в області D разом з своїми похідними, що входять в рівняння, обертаюча це рівняння в
тотожність, називається його рішенням.
Рівняння другого порядку в частинних похідних має вигляд
|
2u |
|
2u |
|
2u |
|
|
|
u u |
|
(1.2) |
||||||
А |
|
|
2B |
|
|
C |
|
|
|
F(x,y,u, |
|
, |
|
) 0. |
|||
x2 |
x y |
y2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|||||||||
Це рівняння називають лінійним щодо старших похідних, |
|||||||||||||||||
якщо коефіцієнти |
А, B, |
С |
залежать тільки від x, у; |
квазілінійним, |
|||||||||||||
якщо А, B, С залежать від |
x,y,u, |
u |
, |
u |
; і лінійним, якщо |
А, B, С |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
залежать тільки від х, у, а функція F лінійна відносно u, u , u .
x y
Загальний вид лінійного рівняння 2-го порядку:
А |
2 u |
2B |
2u |
C |
2u |
D |
u |
E |
u |
Fu g |
(1.3) |
x2 |
x y |
y2 |
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|
де А,B,С, D, E, F, g – функції х і у .
5
Якщо g(x,y) 0, то рівняння називається лінійним неоднорідним
і лінійним однорідним, якщо g(x,y) 0.
Від коефіцієнтів рівняння (1.2) суттєво залежать характер і
поведінка його рішень.
Рівняння виду (1.2) в області D належить:
1)гіперболічному типу, якщо в цій області B2-AC>0;
2)параболічному типу, якщо B2- AC=0;
3)еліптичному типу, якщо B2- AC<0.
Рівняння
2u |
|
u |
u |
||
|
F x, y,u, |
|
, |
|
|
x y |
|
|
|||
|
x |
y |
називається канонічним рівнянням гіперболічного типу;
рівняння
2u |
|
u |
u |
|||
|
|
F x,y,u, |
|
, |
|
|
y |
2 |
|
|
|||
|
|
x |
y |
- канонічним рівнянням параболічного типу;
рівняння
2u |
|
2u |
|
u |
|
u |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
F x,y,u, |
|
, |
|
|
|
2 |
x |
|
2 |
y |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
y |
- канонічним рівнянням еліптичного типу.
6
Для |
приведення |
рівняння (1.2) до |
канонічного |
вигляду, |
||||
потрібно скласти рівняння характеристик |
|
|
||||||
|
A dy 2 2Bdxdy C dx 2 |
0 , |
(1.4) |
|||||
яке розпадається на два рівняння |
|
|
||||||
|
Ady B |
|
|
dx 0 , |
|
|||
|
B2 AC |
(1.5) |
||||||
|
Ady B |
|
|
dx 0 , |
|
|||
|
|
B2 AC |
(1.6) |
|||||
і знайти їх загальні інтеграли. |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Покладемо |
B2-AC>0. |
Загальні |
інтеграли, |
||||
x,y C1, x,y C2 |
рівнянь (1.5) і (1.6) будуть речовинними і |
різними, вони визначають два різні сімейства речовинних характеристик. Відповідно до характеристик вводяться нові незалежні
змінні , : x,y , x,y . |
Похідні |
по старих змінних |
||||||||||||||
виражаються через похідні по нових змінних формулами: |
||||||||||||||||
|
u |
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
, |
|||||||
|
u |
|
u |
|
|
|
u |
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
y |
|
|
|
y |
|
7
|
|
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 u |
|
|
2 u |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x y |
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
2 |
|
|
u |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи в рівняння (1.2) знайдені похідні, можна отримати канонічний вид рівняння гіперболічного типу
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|||||
|
|
|
|
Ф ( , , u, |
|
, |
|
|
|
|
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
або |
|
2u |
|
2u |
|
|
|
|
u u |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ф |
, ,u, |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приклад |
1. |
|
|
Привести |
|
|
до |
|
канонічного вигляду |
||||||||
диференціальне рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
x2 2u y2 2u 0.
x2 y2
В даному разі A x2,B 0,C y2,B2 AC x2y2 0 .
Отже, |
дане |
рівняння належить до параболічного типу при |
||||||||
x 0,y 0 та |
|
при |
|
|
x 0,y 0 |
(до початку координат рівняння |
||||
вироджується); до гіперболічного типу при x 0, y 0 . |
||||||||||
Складаємо рівняння характеристик: |
||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 (dy)2 y2 (dx)2 0, |
|||||
або |
|
|
|
|
|
|
xdy ydx xdy ydx 0 |
|||
Одержуємо два диференціальні рівняння: |
||||||||||
|
|
|
|
xdy + ydx=0 |
і xdy - ydx=0; |
|||||
розділяючи змінні і інтегруючи, маємо |
|
|||||||||
|
|
dy |
|
|
dx |
0, |
тобто |
lny + lnx = lnC1 |
||
|
|
|
x |
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dy |
|
|
|
dx |
0, |
тобто |
lny - lnx = lnC2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
Після потенціювання знаходимо xy = C1 і у/x = C2 – рівняння двох сімейств дійсних характеристик.
9
Тепер слід ввести нові змінні
xy,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
і обчислити похідні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y, |
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0, |
|
2 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
x 2 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Далі можна скористатися формулами (1.7): |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
y |
u |
|
|
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
x |
u |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 u |
|
|
|
2 u |
|
|
y2 2 |
2 u |
|
|
|
y2 |
|
|
|
2 u |
|
y2 |
|
2 |
u |
|
y |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
x 2 |
|
|
2 x 4 |
x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10