- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Содержание
- •1.1 Предмет и задачи физики твердого тела
- •1.2 История развития
- •2.3.2 Плотность упаковки
- •2.3.3 Координационное число
- •2.1 Кристаллические и аморфные тела
- •2.3 Образование плоскостей и направлений в кристалле
- •2.3.1 Индексы Миллера
- •Плотность упаковки
- •2.4 Анизотропия кристаллов
- •3.1 Классификация состояний электронов в атоме
- •3.2 Периодическая система элементов Менделеева
- •4.1 Силы, действующие между частицами твердого тела
- •Ионные кристаллы
- •Атомные кристаллы
- •Металлические кристаллы
- •4.4 Молекулярные кристаллы
- •Кристаллы с водородными связями
- •4.6 Сопоставление различных типов связей
- •5.1 Классификация дефектов в кристаллах
- •5.2 Точечные дефекты в кристаллах
- •5.3 Дислокации
- •5.4 Границы зерен
- •5.5 Прочность твердых тел
- •6.1 Напряжения
- •6.2 Деформации
- •6.3 Диаграммы деформаций
- •6.4 Закон Гука для изотропных твердых тел
- •6.5 Закон Гука для анизотропных твердых тел
- •Основы динамики кристаллической решетки
- •Одномерные колебания однородной струны
- •Колебания цепочки одинаковых атомов
- •Колебания цепочки атомов 2-х сортов
- •Одномерные колебания однородной струны
- •Колебания цепочки одинаковых атомов
- •Колебания цепочки атомов 2-х сортов
- •7.4 Фононы
- •8.1 Теплоемкость
- •8.1.1 Закон Дюлонга и Пти
- •8.1.2 Теория теплоемкости Дебая
- •8.1.3 Электронная теплоемкость
- •8.2 Теплопроводность
- •8.2.1 Понятие о коэффициенте теплопроводности
- •9.7.2 Механизмы теплопроводности твердых тел
- •6.1 Орбитальный магнитный и механический момент электрона
- •9.2 Диамагнетики и парамагнетики
- •9.3 Ферромагнетизм
- •9.4 Антиферромагнетизм
- •10.1 Сверхпроводники первого и второго рода
- •10.2 Теория Бардина-Купера-Шифера
- •Физика твердого тела
- •Тексты лекций для студентов специальности
6.5 Закон Гука для анизотропных твердых тел
Монокристаллические твердые тела являются телами анизотропными. В общем случае для монокристаллов любые произвольно выбранные направления по свойствам неэквивалентны.
Как уже отмечалось, напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами. Если деформация бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных твердых тел. Математический закон Гука для монокристаллов запишется в виде
,
либо как
,
где и - константы податливости и жесткости кристалла соответственно. Всего будет 81 компонента и 81 компонента .
Величины и образуют тензор четвертого ранга. Тензор, составленный из коэффициентов , называют тензором упругой жесткости или просто тензором упругости. Тензор, составленный из коэффициентов , называют тензором упругой податливости.
Так как тензоры деформации и напряжения являются симметричными тензорами второго ранга ( и ), то независимых компонент и будет уже не 81, а только 36, поскольку в этом случае
,,
,.
Для кристаллов тензоры упругих модулей, каждый из которых составлен из 36 компонент, в свою очередь также являются симметричными, т. е. компоненты и симметричны и относительно перестановки пар индексов:
,
.
Наличие таких равенств приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент тензоров упругих модулей сокращается с 36 до 21 - столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией.
При решении многих конкретных задач для упругих модулей полезна запись в матричных обозначениях, поскольку она уменьшает число индексов у компонентов.
При матричной записи двойное сочетание ij=m и kl=n заменяется одним индексом от 1 до 6 по следующей схеме:
11 - 1; 22 - 2; 33 - 3; 23, 32 - 4; 31, 13 -5; 12, 21 - 6.
Коэффициенты упругой жесткости и упругой податливости можно представить в виде таблиц:
,
.
Полное число упругих констант сокращается в зависимости от симметрии кристалла. Так, если кристалл обладает триклинной симметрией, то полное число упругих констант равно 21, а для кристаллов кубической симметрии оно равно 3. Основное свойство кубического кристалла состоит в том, что направления ±х, ±y, ±z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Это приводит к тому, что для кубических кристаллов имеется лишь три независимые компоненты и набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице:
.
Однако, если образец кубического кристалла вырезан в каком-либо направлении, отличающемся даже на малый угол от основных кристаллографических направлений, то он общем случае приобретает свойства кристаллов триклинной системы.
Лекция 7
Основы динамики кристаллической решетки
Одномерные колебания однородной струны
Колебания цепочки одинаковых атомов
Колебания цепочки атомов 2-х сортов
7.4 Фононы
До сих пор мы считали, что частицы находящиеся в узлах кристаллической решетки, являются неподвижными. Это предположение позволило нам разобраться с геометрией кристаллов и разобраться с природой сил взаимодействия частиц решетки. В то же время ряд физических свойств, в частности теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др., не может быть объяснен без учета колебания частиц в узлах кристаллической решетки. В твердом теле атомы при любой температуре непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т. д. Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Рассмотрим ряд простейших моделей, учитывающих динамику колебаний и найдем закономерности колебаний частиц в узлах решетки.