- •Формула Бернулли
- •Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли, наиболее вероятное число успехов.
- •Приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
- •Случайные величины. Типы случайных величин, закон распределения дискретной случайной величины. Независимость случайных величин.
- •Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания.
Билет 1
Основное правило комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.
Билет 2 Классификация событий. Пространство элементарных событий. Действия над событиями. Свойства операций над событиями. Диаграммы Венна.
Действия над событиями.
Диаграммы Венна
Билет 3 Классическое определение вероятности события, свойства вероятности; статистическое определение вероятности. Теорема Бернулли.
Статистическое определение вероятности. Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.
В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний
.
Формула Бернулли
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Кроме того, будем предполагать, что вероятность события в каждом отдельном испытании одна и та же и равна (соответственно, вероятность того, что событие в каждом отдельном испытании не наступит, также постоянна и равна ). Тогда вероятность того, что событие в независимых испытаниях произойдет ровно раз, равна . Данная формула называется формулой Бернулли.
!!!(Есть еще теорема Бернулли (ниже), но я все же думаю, что он эту формулу имел в виду)
Билет 4
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Билет 5 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
-
Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли, наиболее вероятное число успехов.
Теорема(формула Бернулли). Обозначим через Pn(m) вероятность того, что событие А наступило m раз в n испытаниях. Вероятность Pn(m) определяется формулой
Pn(m) = Cnm *pm *qn-m
Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз. Наивероятнейшее число m0 наступлений события А в n испытаниях заключено в интервале np - q <= m0 <=np + p Если np- q −целое число, то наивероятнейших числа два np - q и np+ p .
-
Приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Pn (m) появления события A при большом числе испытаний n. Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более, если учесть, что сами p и q – числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые, пусть даже и приближенные, формулы для вычисления Pn (m) при больших n.
Наиболее известными являются формулы Пуассона и Муавра- Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа (локальная). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Pn (m), того, что в n испытаниях события А наступит m раз, приближенно равна
P= (1/√(npq))*φ(x), где x=(m-np)/√(npq) , а функция φ – функция Гаусса(см. в таблице значений) ϕ(x) является четной, ϕ(x) –монотонно убывающая при положительных значениях x и при x>4 функция приближенно равна 0.
Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между m1 и m2 приближенно равна
P(m1<m<m2)=1/2(Ф(x2) – Ф(x1)), где xi = (mi-np)/√(npq) и i=1,2. нечетная функция.
Теорема (Пуассона). Предположим, что произведение np остается постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим λ = np. Тогда для любого фиксированного m и любого постоянного λ:
В случае, когда n велико (n >100), а р мало ( p < 0,1), причем npq ≤ 9, вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
, Где λ = np.