- •Список вопросов к экзамену по математическому анализу
- •2. Критерий Коши сходимости знакопостоянного ряда.
- •3. Признаки сравнения знакопостоянных рядов.
- •4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •5. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле сходимости знакопеременных рядов.
- •6. Действия над рядами. Сумма и произведение рядов.
- •7. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.
- •8. Равномерная сходимость. Мажорантный признак Вейерштрасса.
- •9. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Ряд Тейлора.
- •10. Ряд Фурье. Условие поточечной сходимости.
- •11.Ряд Фурье. Условие равномерной сходимости.
- •12.Представление функции в виде интеграла Фурье
- •13. Преобразование Фурье
- •14. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход под знаком интеграла.
- •15.Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла
- •16. Г- и в- функции Эйлера и их основные свойства.
- •17.Двойной интеграл. Теорема о среднем.
- •18. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •19. Приложения двойного интеграла.
- •20. Замена переменных в двойном интеграле.
- •21.Тройной интеграл. Приложения тройного интеграла.
- •22.Сведение тройного интеграла к повторному.
- •23.Замена переменных в тройном интеграле.
- •24.Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •25.Теорема Грина.
- •26.Поверхностные интегралы первого и второго рода.
- •27.Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса.
- •28.Элементы теории поля. Дифференциальные векторные операции.
Список вопросов к экзамену по математическому анализу
(ФКН, МКН, 3 семестр, 2 курс).
1. Знакопостоянные ряды. Необходимое условие сходимости ряда.
2. Критерий Коши сходимости знакопостоянного ряда.
3. Признаки сравнения знакопостоянных рядов.
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда.
5. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле сходимости знакопеременных рядов.
6. Действия над рядами. Сумма и произведение рядов.
7. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.
8. Равномерная сходимость. Мажорантный признак Вейерштрасса
9. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Ряд Тейлора.
10. Ряд Фурье. Условие поточечной сходимости.
11. Ряд Фурье. Условие равномерной сходимости.
12. Представление функции в виде интеграла Фурье.
13. Преобразование Фурье.
14. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход под знаком интеграла.
15. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла.
16. Г- и В- функции Эйлера и их основные свойства.
17. Двойной интеграл. Теорема о среднем.
18. Сведение двойного интеграла к повторному.
19. Приложения двойного интеграла
20. Замена переменных и двойном интеграле.
21. Тройной интеграл. Приложения тройного интеграла.
22. Сведение тройного интеграла к повторному.
23. Замени переменных и тройном интеграле.
24. Криволинейные интегралы первого и второго рода.
25. Теорема Грина.
26. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
27. Теорема Остроградского-Гаусса и Стокса (без доказательства).
28. Элементы теории поля. Дифференциальные векторные операции.
1. Знакопостоянные ряды. Необходимое условие сходимости ряда.
Пара последовательностей , гденазывается рядом (а также бесконечной суммой) и обозначаетсяили. Элементы последовательностиназываются членами ряда, а элементы последовательности- его частичными суммами. Если существует конечный предел, то он называется суммой ряда. В этом случае ряд называется сходящимся и пишут. Если последовательность частичных сумм не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимся. Очевидно, что. Каждая из последовательностейиоднозначно определяет другую. Таким образом, чтобы задать ряд, достаточно задать одну из последовательностейили. В этом случае изучение рядов равносильно изучению последовательностей.
Теорема (необходимое условие сходимости ряда): Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю.
Доказательство: Если ряд сходится, т. е. Существует конечный пределего частичных сумм, то из равенстваследует, что.
2. Критерий Коши сходимости знакопостоянного ряда.
Теорема:
Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любогосуществовало такое, что для всехи всех целыхимеет место неравенство
Доказательство: Это утверждение следует из критерия Коши существования конечного предела последовательности, примененного к последовательности частичных сумм данного ряда,
Замечание: при p=0 из теоремы следует, что если рядсходится, то для любогосуществует такоей номер, что для всехвыполняется неравенство, а это означается, что. Таким образом, получаем еще одно доказательство теоремы.